Um bloco de sal ( NaCl ) com espessura
é usado para sustentar uma camada espessa de água. O sal dissolve-se na água, mantendo uma concentração mássica,
, fixa na interface água-sal. Se inicialmente a concentração do sal na água é nula, como essa concentração varia em função da posição e do tempo após o início do contato entre o sal sólido e a água pura ? Qual é a velocidade de deslocamento da superfície
e como este recuo da superfície varia em função do tempo ? Se a densidade do sal sólido é de
e a sua concentração na solução junto à superfície é de
, qual será a extensão do recuo da superfície após transcorridas 24 h do contato inicial ? O coeficiente de difusão na água salgada é de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um bloco de sal (NaCl) com uma certa espessura que está em contato com água pura. Quando o sal se dissolve, ele mantém uma concentração mássica fixa na interface entre a água e o sal. Queremos descobrir como essa concentração muda com a posição e o tempo após o início do contato. Além disso, precisamos encontrar a velocidade de recuo da superfície do sal e como esse recuo varia ao longo do tempo. Por fim, com alguns valores numéricos fornecidos, vamos calcular até onde a superfície do sal terá recuado após 24 horas de contato inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão e taxas de dissolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a concentração de sal varia com a posição e o tempo. Isso é um problema clássico de difusão, onde uma substância (neste caso, o sal) se espalha em um meio (água) ao longo do tempo. A equação que descreve isso é a equação de difusão de Fick:
Aqui, $ C $ é a concentração de sal, $ t $ é o tempo, $ D $ é o coeficiente de difusão, e $ x $ é a posição.
Passo 3
Como o problema menciona que a concentração na interface é constante ($ C_s = 380 , kg/m^3
C = 0 $), podemos usar a solução da equação de difusão para uma superfície mantida em concentração constante. A solução para essa condição é dada pela função erro complementar, mas para simplificar, podemos considerar a profundidade de difusão depois de um certo tempo $ t $, que é aproximadamente:
Essa profundidade $ \delta $ representa até onde o sal se difundiu na água após o tempo $ t $.
Passo 4
Agora, vamos determinar a velocidade de recuo da superfície do sal, ou seja, $ \frac{dL}{dt} $. Como a profundidade de difusão $ \delta $ aumenta com o tempo, a espessura do sal $ L $ diminui à medida que ele se dissolve na água. A taxa de variação de $ L $ em relação ao tempo é a velocidade de recuo:
Calculando a derivada de $ \delta $:
Então,
Isso mostra que a velocidade de recuo depende do inverso da raiz do tempo.
Passo 5
Agora, vamos usar os valores numéricos fornecidos para calcular a extensão do recuo após 24 horas. Primeiro, precisamos converter o tempo para segundos, já que o coeficiente de difusão está em $ m^2/s $:
Usando a fórmula da profundidade de difusão:
Calculando o valor dentro da raiz:
Agora, a raiz:
Multiplicando por 2:
Isso significa que a superfície do sal recuou aproximadamente 2,036 centímetros após 24 horas.
Resposta
Após 24 horas de contato inicial, a superfície do sal recuou cerca de 2,04 centímetros.