Um sistema de tratamento de despejos sólidos opera segundo o princípio da fermentação aeróbia para decompor matérias orgânicas em seus constituintes químicos básicos. Bactérias distribuídas no interior da matéria utilizam o oxigênio da atmosfera no processo de decomposição. Considere uma camada plana de matéria orgânica que possui uma espessura
e é sustentada por uma placa de concreto. A parte superior da camada de matéria orgânica está em contato com o ar atmosférico que mantém uma concentração molar fixa de oxigênio,
, na superfície exposta da camada.
coeficiente de difusão
do oxigênio na matéria orgânica é conhecido, bem como a taxa volumétrica de consumo do oxigênio pelas reações bioquímicas. Esse consumo depende da concentração local de oxigênio e pode ser expresso por
(
). Com base em um volume de controle diferencial no interior da matéria orgânica, desenvolva uma equação diferencial que possa ser resolvida para fornecer a concentração local do oxigênio,
(x). Admita condições unidimensionais e em regime estacionário. Escreva a solução geral para essa equação. Utilizando condições de contorno apropriadas, determine a forma de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema que trata resíduos sólidos usando a fermentação aeróbia, ou seja, bactérias que precisam de oxigênio para decompor matéria orgânica. Temos uma camada plana de matéria orgânica com espessura $ L $, onde o oxigênio entra pela parte de cima e é consumido pelas bactérias conforme penetra na matéria. O que precisamos fazer aqui é desenvolver uma equação diferencial que descreva como a concentração de oxigênio, $ C_A(x) $, varia dentro dessa camada. Vamos usar conceitos de difusão e consumo biológico de oxigênio para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fick da Difusão, que diz que o fluxo de uma espécie (neste caso, oxigênio) é proporcional ao gradiente de concentração. A equação geral é:
Onde:
- $ J_A $ é o fluxo de oxigênio.
- $ D_{AB} $ é o coeficiente de difusão do oxigênio na matéria orgânica.
- $ \frac{dC_A}{dx} $ é o gradiente de concentração de oxigênio.
Passo 3
Agora, considerando o princípio da conservação de massa para um volume de controle diferencial na camada, a mudança no fluxo de oxigênio é igual ao consumo pelo processo biológico. Em regime estacionário (sem variação no tempo), temos:
Onde $ N_A $ é a taxa volumétrica de consumo de oxigênio pelas bactérias, dada por:
Então, substituindo:
Passo 4
Substituindo a expressão do fluxo $ J_A $ na equação de conservação, temos:
Isso simplifica para:
Ou reorganizando:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral da solução para uma equação como essa é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que na superfície ($ x = 0 $), a concentração de oxigênio é fixa em $ C_{AO} $:
E na base da camada ($ x = L $), assumimos que não há fluxo de oxigênio, ou seja, $ \frac{dC_A}{dx} = 0 $.
Passo 7
Aplicando $ C_A(0) = C_{AO} $ na solução geral:
E aplicando $ \frac{dC_A}{dx}\bigg|_{x=L} = 0 $:
Resolvendo essas equações para $ A $ e $ B $, encontramos:
Resposta
A concentração local de oxigênio na camada é dada por:
Ou simplificando: