Um sistema de tratamento de despejos sólidos opera segundo o princípio da fermentação aeróbia para decompor matérias orgânicas em seus constituintes químicos básicos. Bactérias distribuídas no interior da matéria utilizam o oxigênio da atmosfera no processo de decomposição. Considere uma camada plana de matéria orgânica que possui uma espessura L e é sustentada por uma placa de concreto. A parte superior da camada de matéria orgânica está em contato com o ar atmosférico que mantém uma concentração molar fixa de oxigênio, CAO, na superfície exposta da camada. O coeficiente de difusão DA B do oxigênio na matéria orgânica é conhecido, bem como a taxa volumétrica de consumo do oxigênio pelas reações bioquímicas. Esse consumo depende da concentração local de oxigênio e pode ser expresso por NA=-k1 cdot CA ( kmol / s cdot m^2 ). Com base em um volume de controle diferencial no interior da matéria orgânica, desenvolva uma equação diferencial que possa ser resolvida para fornecer a concentração local do oxigênio, CA (x). Admita condições unidimensionais e em regime estacionário. Escreva a solução geral para essa equação. Utilizando condições de contorno apropriadas, determine a forma de CA(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema que trata resíduos sólidos usando a fermentação aeróbia, ou seja, bactérias que precisam de oxigênio para decompor matéria orgânica. Temos uma camada plana de matéria orgânica com espessura $ L $, onde o oxigênio entra pela parte de cima e é consumido pelas bactérias conforme penetra na matéria. O que precisamos fazer aqui é desenvolver uma equação diferencial que descreva como a concentração de oxigênio, $ C_A(x) $, varia dentro dessa camada. Vamos usar conceitos de difusão e consumo biológico de oxigênio para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fick da Difusão, que diz que o fluxo de uma espécie (neste caso, oxigênio) é proporcional ao gradiente de concentração. A equação geral é:
JA = -DAB dCAdx
Onde:
  • $ J_A $ é o fluxo de oxigênio.
  • $ D_{AB} $ é o coeficiente de difusão do oxigênio na matéria orgânica.
  • $ \frac{dC_A}{dx} $ é o gradiente de concentração de oxigênio.

Passo 3

Agora, considerando o princípio da conservação de massa para um volume de controle diferencial na camada, a mudança no fluxo de oxigênio é igual ao consumo pelo processo biológico. Em regime estacionário (sem variação no tempo), temos:
dJAdx = -NA
Onde $ N_A $ é a taxa volumétrica de consumo de oxigênio pelas bactérias, dada por:
NA
Então, substituindo:
NA = k1 cdot CA

Passo 4

Substituindo a expressão do fluxo $ J_A $ na equação de conservação, temos:
JA
Isso simplifica para:
ddx(-DAB dCAdx) = -k1 CA
Ou reorganizando:
DAB d^2 CAdx^2 = k1 CA

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral da solução para uma equação como essa é:
CA(x) = A e^raizk1DAB x + B e^-raizk1DAB x
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que na superfície ($ x = 0 $), a concentração de oxigênio é fixa em $ C_{AO} $:
x = 0
E na base da camada ($ x = L $), assumimos que não há fluxo de oxigênio, ou seja, $ \frac{dC_A}{dx} = 0 $.

Passo 7

Aplicando $ C_A(0) = C_{AO} $ na solução geral:
CA(0) = CAO
E aplicando $ \frac{dC_A}{dx}\bigg|_{x=L} = 0 $:
CAO = A + B
Resolvendo essas equações para $ A $ e $ B $, encontramos:
dCAdxg|x=L = 0
A raizk1DAB e^raizk1DAB L - B raizk1DAB e^-raizk1DAB L = 0

Resposta

A concentração local de oxigênio na camada é dada por:
CA(x) = CAO1 + e^2raizk1DAB L cdot e^raizk1DAB x + CAO e^2raizk1DAB L1 + e^2raizk1DAB L cdot e^-raizk1DAB x
Ou simplificando:
CA(x) = CAO ( e^raizk1DAB x + e^raizk1DAB (2L - x)1 + e^2raizk1DAB L )

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