Se uma bobina com espiras for feita com um fio de comprimento fixo, mostre que o momento magnético máximo dessa bobina, quando percorrida por uma corrente , é obtido para e seu valor é expresso por .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma bobina com espiras, feita com um fio cujo comprimento total é (isso é, o fio não pode ser alongado mais). A corrente que passa por essa bobina é . A tarefa é mostrar que o momento magnético dessa bobina alcança seu valor máximo quando o número de espiras é igual a 1. Além disso, precisamos encontrar o valor desse momento máximo, que segundo o enunciado deve ser .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de magnetismo, especialmente o momento magnético de uma bobina, e usar um pouco de cálculo para otimizar a função que representa esse momento em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento magnético ( ) de uma bobina circular é dado pela fórmula:
Onde:
  • é o número de espiras,
  • é a corrente elétrica passando pela bobina,
  • é a área de uma única espira.
Então, para calcular , precisamos saber quantas espiras temos, qual é a corrente e qual é a área de cada espira.

Passo 3

Como o comprimento total do fio é fixo e usamos esse fio para fazer espiras, precisamos relacionar o comprimento do fio com o número de espiras e o tamanho de cada espira.
Assumindo que cada espira é um círculo perfeito, o perímetro de uma espira (que é basicamente o comprimento do fio usado para dar uma volta) é , onde é o raio da espira.
Então, o comprimento total do fio é a soma dos perímetros de todas as espiras:
Agora, vamos resolver para :

Passo 4

Agora que sabemos o raio em função de , podemos encontrar a área de uma espira:
Substituindo :
Agora, voltamos à fórmula do momento magnético:

Passo 5

Para encontrar o número de espiras que maximiza o momento magnético , vamos tratar como uma função de e encontrar o máximo dessa função.
A função que temos é:
Queremos maximizar em relação a . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Observando a derivada, vemos que ela nunca é igual a zero a menos que o numerador seja zero, o que não é o caso (pois e são positivos). Isso significa que é uma função decrescente em relação a . Portanto, para maximizar , deve ser o menor valor possível, que é .

Resposta

O momento magnético máximo da bobina ocorre quando , e seu valor é dado por:
á

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