Se uma bobina com N espiras for feita com um fio de comprimento ell fixo, mostre que o momento magnético máximo dessa bobina, quando percorrida por uma corrente I, é obtido para N=1 e seu valor é expresso por I ell^2 / 4 pi.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma bobina com N espiras, feita com um fio cujo comprimento total é ell (isso é, o fio não pode ser alongado mais). A corrente que passa por essa bobina é I. A tarefa é mostrar que o momento magnético dessa bobina alcança seu valor máximo quando o número de espiras N é igual a 1. Além disso, precisamos encontrar o valor desse momento máximo, que segundo o enunciado deve ser I ell^2 / 4 pi.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de magnetismo, especialmente o momento magnético de uma bobina, e usar um pouco de cálculo para otimizar a função que representa esse momento em relação a N.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento magnético ( mu) de uma bobina circular é dado pela fórmula:
mu = N I A
Onde:
  • N é o número de espiras,
  • I é a corrente elétrica passando pela bobina,
  • A é a área de uma única espira.
Então, para calcular mu, precisamos saber quantas espiras temos, qual é a corrente e qual é a área de cada espira.

Passo 3

Como o comprimento total do fio ell é fixo e usamos esse fio para fazer N espiras, precisamos relacionar o comprimento do fio com o número de espiras e o tamanho de cada espira.
Assumindo que cada espira é um círculo perfeito, o perímetro de uma espira (que é basicamente o comprimento do fio usado para dar uma volta) é 2pi r, onde r é o raio da espira.
Então, o comprimento total do fio ell é a soma dos perímetros de todas as espiras:
ell = N cdot (2 pi r) = 2 pi N r
Agora, vamos resolver para r:
r = ell2 pi N

Passo 4

Agora que sabemos o raio r em função de N, podemos encontrar a área A de uma espira:
A = pi r^2
Substituindo r:
A = pi ( ell2 pi N )^2 = pi cdot ell^24 pi^2 N^2 = ell^24 pi N^2
Agora, voltamos à fórmula do momento magnético:
mu = N I A = N I cdot ell^24 pi N^2 = I ell^24 pi N

Passo 5

Para encontrar o número de espiras N que maximiza o momento magnético mu, vamos tratar mu como uma função de N e encontrar o máximo dessa função.
A função que temos é:
mu(N) = I ell^24 pi N
Queremos maximizar mu em relação a N. Para isso, vamos derivar mu em relação a N e igualar a derivada a zero:
dmudN = -I ell^24 pi N^2 = 0
Observando a derivada, vemos que ela nunca é igual a zero a menos que o numerador seja zero, o que não é o caso (pois I e ell são positivos). Isso significa que mu é uma função decrescente em relação a N. Portanto, para maximizar mu, N deve ser o menor valor possível, que é N=1.

Resposta

O momento magnético máximo da bobina ocorre quando N=1, e seu valor é dado por:
mumáximo = I ell^24 pi á

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