Se uma bobina com
espiras for feita com um fio de comprimento
fixo, mostre que o momento magnético máximo dessa bobina, quando percorrida por uma corrente
, é obtido para
e seu valor é expresso por
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma bobina com
espiras, feita com um fio cujo comprimento total é
(isso é, o fio não pode ser alongado mais). A corrente que passa por essa bobina é
. A tarefa é mostrar que o momento magnético dessa bobina alcança seu valor máximo quando o número de espiras
é igual a 1. Além disso, precisamos encontrar o valor desse momento máximo, que segundo o enunciado deve ser
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de magnetismo, especialmente o momento magnético de uma bobina, e usar um pouco de cálculo para otimizar a função que representa esse momento em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento magnético (
) de uma bobina circular é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o número de espiras, -
é a corrente elétrica passando pela bobina, -
é a área de uma única espira.
Então, para calcular
, precisamos saber quantas espiras temos, qual é a corrente e qual é a área de cada espira.
Passo 3
Como o comprimento total do fio
é fixo e usamos esse fio para fazer
espiras, precisamos relacionar o comprimento do fio com o número de espiras e o tamanho de cada espira.
Assumindo que cada espira é um círculo perfeito, o perímetro de uma espira (que é basicamente o comprimento do fio usado para dar uma volta) é
, onde
é o raio da espira.
Então, o comprimento total do fio
é a soma dos perímetros de todas as espiras:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 4
Agora que sabemos o raio
em função de
, podemos encontrar a área
de uma espira:
Substituindo
:
Agora, voltamos à fórmula do momento magnético:
Passo 5
Para encontrar o número de espiras
que maximiza o momento magnético
, vamos tratar
como uma função de
e encontrar o máximo dessa função.
A função que temos é:
Queremos maximizar
em relação a
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Observando a derivada, vemos que ela nunca é igual a zero a menos que o numerador seja zero, o que não é o caso (pois
e
são positivos). Isso significa que
é uma função decrescente em relação a
. Portanto, para maximizar
,
deve ser o menor valor possível, que é
.
Resposta
O momento magnético máximo da bobina ocorre quando
, e seu valor é dado por:
Exercícios relacionados
c) perpendicularmente ao fio e tangente a um círculo centrado no eixo do fio. (Resp. a)
oposto à corrente b)
para longe do fio
)
Esferas ocas concêntricas. Uma pequena esfera oca condutora, com raio interno
e raio externo
, é concêntrica, com uma grande esfera oca condutora, raio interno
e raio externo
(Figura P22.45). A carga total sobre a esfera oca interna é igual a
e a carga total sobre a esfera oca externa é
Figura P22.45
Figura P22.45
Um cilindro isolante muito longo, de raio
, possui um buraco cilíndrico, com raio
, perfurado ao longo de toda a extensão de um eixo paralelo ao eixo do cilindro. O eixo do buraco está a uma distância
do eixo do cilindro, em que
(Figura P22.58). A parte maciça do cilindro possui densidade volumétrica de carga
uniforme. Encontre o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico
no interior do buraco e mostre que
é uniforme em todos os pontos do volume do buraco. (Dica: veja o Problema 22.57.)
Figura P22.58
Figura P22.58
c)
a uma distância
da extremidade direita e sobre a mesma linha do fio. (Resp. a)
b)
c)
)