Um cilindro isolante muito longo, de raio , possui um buraco cilíndrico, com raio , perfurado ao longo de toda a extensão de um eixo paralelo ao eixo do cilindro. O eixo do buraco está a uma distância do eixo do cilindro, em que (Figura P22.58). A parte maciça do cilindro possui densidade volumétrica de carga uniforme. Encontre o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no interior do buraco e mostre que é uniforme em todos os pontos do volume do buraco. (Dica: veja o Problema 22.57.)
Figura P22.58

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um cilindro isolante bem comprido com um buraco também cilíndrico passando por ele. A gente precisa encontrar o campo elétrico dentro desse buraco. Aqui, estamos lidando com eletrostática, mais especificamente com o campo elétrico em materiais com carga distribuída. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de Gauss e superposição de campos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um cilindro grande com raio e um buraco cilíndrico com raio perfurado nele. O centro do buraco está a uma distância do centro do cilindro, onde . A densidade de carga volumétrica do material do cilindro é e é uniforme.

Passo 3

Agora, para encontrar o campo elétrico dentro do buraco, podemos usar o princípio da superposição. Imagine que o cilindro com o buraco é como se fosse o cilindro completo (sem buraco) menos um cilindro vazio deslocado desse jeito.

Passo 4

Vamos considerar dois cilindros:
  1. Cilindro completo: de raio , com densidade de carga .
  2. Cilindro vazio: de raio , tamb��m com densidade de carga , mas deslocado a uma distância do centro.
O campo elétrico dentro do buraco será a diferença entre o campo do cilindro grande e o campo do cilindro vazio.

Passo 5

Usando a Lei de Gauss para cilindros, sabemos que o campo elétrico a uma distância do eixo de um cilindro com densidade de carga é dado por:
onde é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 6

No nosso caso, o cilindro vazio está deslocado a uma distância . Então, o campo devido a esse cilindro vazio no centro do buraco será:
Esse campo será na direção oposta ao deslocamento porque estamos subtraindo o efeito do cilindro vazio.

Passo 7

O campo total dentro do buraco será, portanto, apenas o campo gerado pela ausência de carga na região do buraco, que é:
onde é o vetor unitário na direção do deslocamento.

Passo 8

Finalmente, como o deslocamento é constante e o campo depende linearmente dele, o campo el��trico será uniforme em todo o volume do buraco, ou seja, tem a mesma magnitude e direção em todos os pontos dentro do buraco.

Resposta

O campo elétrico no interior do buraco é uniforme e dado por:
onde aponta na direção do deslocamento .

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