Um cilindro isolante muito longo, de raio
, possui um buraco cilíndrico, com raio
, perfurado ao longo de toda a extensão de um eixo paralelo ao eixo do cilindro. O eixo do buraco está a uma distância
do eixo do cilindro, em que
(Figura P22.58). A parte maciça do cilindro possui densidade volumétrica de carga
uniforme. Encontre o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico
no interior do buraco e mostre que
é uniforme em todos os pontos do volume do buraco. (Dica: veja o Problema 22.57.)
Figura P22.58
Figura P22.58
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um cilindro isolante bem comprido com um buraco também cilíndrico passando por ele. A gente precisa encontrar o campo elétrico
dentro desse buraco. Aqui, estamos lidando com eletrostática, mais especificamente com o campo elétrico em materiais com carga distribuída. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de Gauss e superposição de campos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um cilindro grande com raio
e um buraco cilíndrico com raio
perfurado nele. O centro do buraco está a uma distância
do centro do cilindro, onde
. A densidade de carga volumétrica do material do cilindro é
e é uniforme.
Passo 3
Agora, para encontrar o campo elétrico dentro do buraco, podemos usar o princípio da superposição. Imagine que o cilindro com o buraco é como se fosse o cilindro completo (sem buraco) menos um cilindro vazio deslocado desse jeito.
Passo 4
Vamos considerar dois cilindros:
- Cilindro completo: de raio
, com densidade de carga . - Cilindro vazio: de raio
, tamb��m com densidade de carga , mas deslocado a uma distância do centro.
O campo elétrico dentro do buraco será a diferença entre o campo do cilindro grande e o campo do cilindro vazio.
Passo 5
Usando a Lei de Gauss para cilindros, sabemos que o campo elétrico a uma distância
do eixo de um cilindro com densidade de carga
é dado por:
onde
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 6
No nosso caso, o cilindro vazio está deslocado a uma distância
. Então, o campo devido a esse cilindro vazio no centro do buraco será:
Esse campo será na direção oposta ao deslocamento porque estamos subtraindo o efeito do cilindro vazio.
Passo 7
O campo total dentro do buraco será, portanto, apenas o campo gerado pela ausência de carga na região do buraco, que é:
onde
é o vetor unitário na direção do deslocamento.
Passo 8
Finalmente, como o deslocamento
é constante e o campo depende linearmente dele, o campo el��trico
será uniforme em todo o volume do buraco, ou seja, tem a mesma magnitude e direção em todos os pontos dentro do buraco.
Resposta
O campo elétrico no interior do buraco é uniforme e dado por:
onde
aponta na direção do deslocamento
.
Exercícios relacionados
Se uma bobina com
espiras for feita com um fio de comprimento
fixo, mostre que o momento magnético máximo dessa bobina, quando percorrida por uma corrente
, é obtido para
e seu valor é expresso por
.
c) perpendicularmente ao fio e tangente a um círculo centrado no eixo do fio. (Resp. a)
oposto à corrente b)
para longe do fio
)
c)
a uma distância
da extremidade direita e sobre a mesma linha do fio. (Resp. a)
b)
c)
)
Calcule o campo elétrico gerado por um anel de espessura desprezível e raio
, carregado com uma carga
uniformemente sobre seu corpo, em um ponto sobre o eixo de simetria do anel e à distância
do seu centro.