Uma bobina retangular de 50 espiras, de dimensões 0,15 m times 0,40 m, gira em um campo magnético uniforme de 0,75 T a 3.600 revoluções por minuto (rpm). (a) Determine a fem induzida na bobina em função do tempo. (b) Se a bobina estiver conectada a um resistor de 1,00 k Omega, qual é a potência, em função do tempo, necessária para manter a bobina girando a 3.600 rpm ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de indução eletromagnética! O enunciado fala sobre uma bobina retangular que gira em um campo magnético. A matéria envolvida aqui é a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e conceitos de potência elétrica. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a fem induzida e a potência em circuitos elétricos com resistores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Número de espiras (N): 50
  • Dimensões da bobina: 0,15 m x 0,40 m
  • Campo magnético (B): 0,75 T
  • Velocidade de rotação: 3.600 rpm
Precisamos converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo para facilitar os cálculos futuros.

Passo 3

Para converter rpm para rad/s, usamos a fórmula:
omega = rpm times 2pi60
Substituindo:
omega = 3600 times 2pi60 = 3600 times pi30 = 120pi , rad/s

Passo 4

Agora, calculamos a área da bobina. Como é retangular, a área (A) é:
A = comprimento times largura = 0,15 , m times 0,40 , m = 0,06 , m^2

Passo 5

A fem induzida em uma bobina que gira em um campo magnético é dada pela Lei de Faraday:
E(t) = -N cdot dPhidt
Onde dPhidt = -B cdot A cdot omega cdot sin(omega t) é o fluxo magnético. Derivando em relação ao tempo:
E(t) = N cdot B cdot A cdot omega cdot sin(omega t)
Portanto, a fem induzida fica:

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
E(t) = 50 cdot 0,75 , T cdot 0,06 , m^2 cdot 120pi , rad/s cdot sin(120pi t)
Calculando os valores constantes:
50 times 0,75 = 37,5
37,5 times 0,06 = 2,25
2,25 times 120pi = 270pi
Assim, a fem induzida é:
E(t) = 270pi cdot sin(120pi t) , V

Passo 7

Agora, para a parte (b), precisamos calcular a potência necessária para manter a bobina girando quando conectada a um resistor de P(t) = E(t)^2R .
A potência elétrica em um circuito é dada por:
Onde é a resistência.

Passo 8

Substituindo os valores:
P(t) = (270pi cdot sin(120pi t))^21000 , Omega
Simplificando:
P(t) = (270pi)^2 cdot sin^2(120pi t)1000
P(t) = 72900pi^2 cdot sin^2(120pi t)1000
P(t) = 72,9pi^2 cdot sin^2(120pi t) , W

Resposta

(a) A fem induzida na bobina em função do tempo é:
E(t) = 270pi cdot sin(120pi t) , V
(b) A potência necessária para manter a bobina girando a 3.600 rpm é:
P(t) = 72,9pi^2 cdot sin^2(120pi t) , W

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