A corrente em um longo solenoide de raio 3,0 cm e 20 espiras/ cm varia com o tempo a uma taxa de 2,0 A/s. Determine o campo elétrico a uma distância de 4,0 cm do centro do solenoide. Dado: mu0=4 pi cdot 10^-7 T cdot m / A.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um solenoide longo com raio de 3,0 cm e 20 espiras por centímetro. A corrente que passa por ele está mudando no tempo a uma taxa de 2,0 A/s. Precisamos determinar o campo elétrico a uma distância de 4,0 cm do centro do solenoide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e campo magnético de um solenoide.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a Lei de Faraday, que relaciona a variação do fluxo magnético com o campo elétrico induzido:
oint E cdot dl = -dPhiBdt
Onde:
  • é o campo elétrico.
  • é um elemento infinitesimal de caminho.
  • é o fluxo magnético.

Passo 3

Para aplicar essa lei, vamos considerar um caminho circular concêntrico ao solenoide com raio oint E cdot dl = E cdot 2pi r . A simetria do problema sugere que o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa trajetória e será tangencial.
Então, a integral do campo elétrico ao longo do caminho é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo magnético PhiB = B cdot A que está passando pela área do caminho. O fluxo magnético é dado por:
PhiB = 0
Onde:
  • é o campo magnético dentro do solenoide.
  • é a área da trajetória.
No entanto, como é maior que o raio do solenoide ( ), o campo magnético fora do solenoide é praticamente zero para um solenoide ideal longo. Portanto, o fluxo magnético total através da trajetória é zero:

Passo 5

Apesar do fluxo magnético ser zero fora do solenoide, a variação do fluxo dentro do solenoide pode induzir um campo elétrico no espaço ao redor. Precisamos considerar apenas a área interna do solenoide para calcular B = mu0 n I .
O campo magnético dentro de um solenoide é dado por:
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo.
  • é o número de espiras por metro.
  • é a corrente.

Passo 6

Vamos converter o número de espiras por centímetro para espiras por metro:
20 , espiras/cm = 2000 , espiras/m
Então, .

Passo 7

Substituindo na expressão do campo magnético:
B = mu0 n I
A variação do campo magnético no tempo é:
dBdt = mu0 n dIdt
Dado que dBdt = 4pi times 10^-7 times 2000 times 2,0 = 1,6 times 10^-3 pi , T/s , temos:

Passo 8

O fluxo magnético através da área do solenoide é:
PhiB = B cdot pi rsol^2
Onde dPhiBdt = pi rsol^2 dBdt = pi (0,03)^2 times 1,6 times 10^-3 pi .
A variação do fluxo magnético é:
dPhiBdt = pi times 0,0009 times 1,6 times 10^-3 = 4,536 times 10^-6 pi , Wb/s

Passo 9

Aplicando a Lei de Faraday:
E cdot 2pi r = -dPhiBdt
Isolando E = -12pi r dPhiBdt :
E = -12pi times 0,04 times 4,536 times 10^-6 pi
Substituindo os valores:
E = -4,536 times 10^-6 pi0,08 pi = -4,536 times 10^-60,08 = -5,67 times 10^-5 , V/m
Como estamos interessados apenas na magnitude, podemos desconsiderar o sinal negativo.

Resposta

O campo elétrico a uma distância de 4,0 cm do centro do solenoide é aproximadamente .

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