A corrente em um longo solenoide de raio
e 20 espiras/ cm varia com o tempo a uma taxa de 2,0 A/s. Determine o campo elétrico a uma distância de
do centro do solenoide. Dado:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um solenoide longo com raio de 3,0 cm e 20 espiras por centímetro. A corrente que passa por ele está mudando no tempo a uma taxa de 2,0 A/s. Precisamos determinar o campo elétrico a uma distância de 4,0 cm do centro do solenoide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e campo magnético de um solenoide.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar a Lei de Faraday, que relaciona a variação do fluxo magnético com o campo elétrico induzido:
Onde:
-
é o campo elétrico. -
é um elemento infinitesimal de caminho. -
é o fluxo magnético.
Passo 3
Para aplicar essa lei, vamos considerar um caminho circular concêntrico ao solenoide com raio
. A simetria do problema sugere que o campo elétrico
terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa trajetória e será tangencial.
Então, a integral do campo elétrico ao longo do caminho é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo magnético
que está passando pela área do caminho. O fluxo magnético é dado por:
Onde:
-
é o campo magnético dentro do solenoide. -
é a área da trajetória.
No entanto, como
é maior que o raio do solenoide (
), o campo magnético fora do solenoide é praticamente zero para um solenoide ideal longo. Portanto, o fluxo magnético total através da trajetória é zero:
Passo 5
Apesar do fluxo magnético ser zero fora do solenoide, a variação do fluxo dentro do solenoide pode induzir um campo elétrico no espaço ao redor. Precisamos considerar apenas a área interna do solenoide para calcular
.
O campo magnético dentro de um solenoide é dado por:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo. -
é o número de espiras por metro. -
é a corrente.
Passo 6
Vamos converter o número de espiras por centímetro para espiras por metro:
Então,
.
Passo 7
Substituindo na expressão do campo magnético:
A variação do campo magnético no tempo é:
Dado que
, temos:
Passo 8
O fluxo magnético através da área do solenoide é:
Onde
.
A variação do fluxo magnético é:
Passo 9
Aplicando a Lei de Faraday:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Como estamos interessados apenas na magnitude, podemos desconsiderar o sinal negativo.
Resposta
O campo elétrico a uma distância de 4,0 cm do centro do solenoide é aproximadamente
.
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