Uma bobina retangular percorrida por corrente está no plano de um campo magnético uniforme de módulo 0,040 T. A bobina é formada por uma única espira de fio flexível enrolado em um suporte flexível que permite mudar as dimensões do retângulo. (O comprimento total do fio permanece inalterado.) Quando o comprimento x de um dos lados do retângulo varia de aproximadamente zero para o valor máximo de aproximadamente 4,0 cm, o módulo tau do torque passa por um valor máximo de 4,80 times 10^-8 N m Qual é a corrente na bobina?

Passo 1

Resumindo o Problema e Identificando o Conteúdo:
Temos uma bobina retangular com uma única espira de fio flexível que está inserida em um campo magnético uniforme de intensidade 0,040, T. A bobina pode mudar o formato do retângulo mantendo o comprimento total do fio constante. Quando um dos lados do retângulo, com comprimento x, varia de quase zero até aproximadamente 4,0, cm, o torque tau atinge seu valor máximo de 4,80 times 10^-8, N,m. Nosso objetivo é determinar a corrente elétrica presente na bobina.
Conteúdo da Matéria:
  • Torque em circuitos elétricos.
  • Relação entre torque, corrente, área da bobina e campo magnético.
  • Cálculo da área de uma figura geométrica.
  • Conservação do comprimento do fio na bobina.
O Que Vamos Precisar:
  • Fórmula do torque em uma bobina.
  • Relação entre os lados do retângulo dado o comprimento total do fio.
  • Cálculos envolvendo áreas e substituição de variáveis.

Passo 2

Expressando o Torque em uma Bobina Retangular:
O torque tau em uma bobina retangular é dado pela fórmula:
tau = N cdot I cdot A cdot B cdot sin(theta)
Onde:
  • N é o número de espiras (no caso, N = 1).
  • I é a corrente elétrica na bobina.
  • A é a área da bobina.
  • B é a intensidade do campo magnético.
  • theta é o ângulo entre o vetor área e o campo magnético.
Como a bobina está no plano do campo magnético, theta = 90^circ e sin(90^circ) = 1. Assim, a fórmula simplifica para:
tau = I cdot A cdot B

Passo 3

Determinação da Área da Bobina:
A bobina é retangular, então a área A é dada por:
A = x cdot y
Onde:
  • x é o comprimento de um lado do retângulo.
  • y é o comprimento do outro lado.

Passo 4

Relação entre os Lados do Retângulo e o Comprimento Total do Fio:
O comprimento total do fio é constante e corresponde ao perímetro do retângulo:
P = 2x + 2y
Como o comprimento total do fio permanece inalterado, podemos isolar y em função de x:
2x + 2y = P 2y = P - 2x y = P2 - x

Passo 5

Expressando a Área em Função de x:
Substituindo y na expressão da área:
A = x cdot (P2 - x) A = P2x - x^2

Passo 6

Substituindo a Área na Fórmula do Torque:
Agora, substituímos A na fórmula do torque:
tau = I cdot (P2x - x^2) cdot B

Passo 7

Maximizando o Torque:
O torque atinge seu valor máximo quando a derivada de tau em relação a x é zero. Mas, para simplificar, sabemos que o torque é máximo quando a área é máxima. A área máxima de um retângulo com perímetro fixo ocorre quando ele é um quadrado, ou seja, x = y.
Então, temos:
x = y 2x + 2x = P 4x = P x = P4

Passo 8

Calculando a Área Máxima:
Substituindo x = P4 na expressão da área:
Amáx = x cdot y = x cdot x = x^2 = (P4)^2 = P^216 á

Passo 9

Substituindo na Fórmula do Torque Máximo:
Sabemos que:
taumáx = I cdot Amáx cdot B 4,80 times 10^-8, N,m = I cdot P^216 cdot 0,040, T áá

Passo 10

Determinação do Comprimento Total do Fio ( P):
Quando x varia de quase zero a 4,0, cm, assumimos que o comprimento máximo de x ocorre quando a bobina está alongada, então x = 4,0, cm = 0,04, m. Nesse caso, y será mínimo.
Como o comprimento total do fio é constante:
P = 2x + 2y = 2(0,04) + 2y P = 0,08 + 2y
Como não temos informação direta de P, precisamos encontrar outra abordagem.

Passo 11

Relacionando o Perímetro com a Área Máxima:
No passo anterior, determinamos que para máxima área, x = y = P4. Portanto, a área máxima é:
Amáx = (P4)^2 = P^216 á
Substituindo na fórmula do torque máximo:
taumáx = I cdot P^216 cdot B á
Isolando I:
I = 16 cdot taumáxP^2 cdot B á

Passo 12

Determinação do Perímetro ( P):
No estado de máxima área, x = y = P4. Quando x = 4,0, cm, substituímos na equação do perímetro:
P = 2x + 2y = 2(0,04) + 2(0,04) = 0,16, m

Passo 13

Calculando a Corrente ( I):
Substituindo os valores na fórmula de I:
I = 16 cdot 4,80 times 10^-8, N,m(0,16, m)^2 cdot 0,040, T I = 16 cdot 4,80 times 10^-80,0256 cdot 0,040 I = 7,68 times 10^-70,001024 I = 7,5 times 10^-4, A

Resposta

A corrente na bobina é de 7,5 times 10^-4, A.

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