Uma bobina retangular percorrida por corrente está no plano de um campo magnético uniforme de módulo
. A bobina é formada por uma única espira de fio flexível enrolado em um suporte flexível que permite mudar as dimensões do retângulo. (O comprimento total do fio permanece inalterado.) Quando o comprimento
de um dos lados do retângulo varia de aproximadamente zero para o valor máximo de aproximadamente
, o módulo
do torque passa por um valor máximo de
Qual é a corrente na bobina?
Passo 1
Resumindo o Problema e Identificando o Conteúdo:
Temos uma bobina retangular com uma única espira de fio flexível que está inserida em um campo magnético uniforme de intensidade
. A bobina pode mudar o formato do retângulo mantendo o comprimento total do fio constante. Quando um dos lados do retângulo, com comprimento
, varia de quase zero até aproximadamente
, o torque
atinge seu valor máximo de
. Nosso objetivo é determinar a corrente elétrica presente na bobina.
Conteúdo da Matéria:
- Torque em circuitos elétricos.
- Relação entre torque, corrente, área da bobina e campo magnético.
- Cálculo da área de uma figura geométrica.
- Conservação do comprimento do fio na bobina.
O Que Vamos Precisar:
- Fórmula do torque em uma bobina.
- Relação entre os lados do retângulo dado o comprimento total do fio.
- Cálculos envolvendo áreas e substituição de variáveis.
Passo 2
Expressando o Torque em uma Bobina Retangular:
O torque
em uma bobina retangular é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o número de espiras (no caso, ). -
é a corrente elétrica na bobina. -
é a área da bobina. -
é a intensidade do campo magnético. -
é o ângulo entre o vetor área e o campo magnético.
Como a bobina está no plano do campo magnético,
e
. Assim, a fórmula simplifica para:
Passo 3
Determinação da Área da Bobina:
A bobina é retangular, então a área
é dada por:
Onde:
-
é o comprimento de um lado do retângulo. -
é o comprimento do outro lado.
Passo 4
Relação entre os Lados do Retângulo e o Comprimento Total do Fio:
O comprimento total do fio é constante e corresponde ao perímetro do retângulo:
Como o comprimento total do fio permanece inalterado, podemos isolar
em função de
:
Passo 5
Expressando a Área em Função de
:
Substituindo
na expressão da área:
Passo 6
Substituindo a Área na Fórmula do Torque:
Agora, substituímos
na fórmula do torque:
Passo 7
Maximizando o Torque:
O torque atinge seu valor máximo quando a derivada de
em relação a
é zero. Mas, para simplificar, sabemos que o torque é máximo quando a área é máxima. A área máxima de um retângulo com perímetro fixo ocorre quando ele é um quadrado, ou seja,
.
Então, temos:
Passo 8
Calculando a Área Máxima:
Substituindo
na expressão da área:
Passo 9
Substituindo na Fórmula do Torque Máximo:
Sabemos que:
Passo 10
Determinação do Comprimento Total do Fio (
):
Quando
varia de quase zero a
, assumimos que o comprimento máximo de
ocorre quando a bobina está alongada, então
. Nesse caso,
será mínimo.
Como o comprimento total do fio é constante:
Como não temos informação direta de
, precisamos encontrar outra abordagem.
Passo 11
Relacionando o Perímetro com a Área Máxima:
No passo anterior, determinamos que para máxima área,
. Portanto, a área máxima é:
Substituindo na fórmula do torque máximo:
Isolando
:
Passo 12
Determinação do Perímetro (
):
No estado de máxima área,
. Quando
, substituímos na equação do perímetro:
Passo 13
Calculando a Corrente (
):
Substituindo os valores na fórmula de
:
Resposta
A corrente na bobina é de
.