Uma bobina retangular percorrida por corrente está no plano de um campo magnético uniforme de módulo . A bobina é formada por uma única espira de fio flexível enrolado em um suporte flexível que permite mudar as dimensões do retângulo. (O comprimento total do fio permanece inalterado.) Quando o comprimento de um dos lados do retângulo varia de aproximadamente zero para o valor máximo de aproximadamente , o módulo do torque passa por um valor máximo de Qual é a corrente na bobina?

Passo 1

Resumindo o Problema e Identificando o Conteúdo:
Temos uma bobina retangular com uma única espira de fio flexível que está inserida em um campo magnético uniforme de intensidade . A bobina pode mudar o formato do retângulo mantendo o comprimento total do fio constante. Quando um dos lados do retângulo, com comprimento , varia de quase zero até aproximadamente , o torque atinge seu valor máximo de . Nosso objetivo é determinar a corrente elétrica presente na bobina.
Conteúdo da Matéria:
  • Torque em circuitos elétricos.
  • Relação entre torque, corrente, área da bobina e campo magnético.
  • Cálculo da área de uma figura geométrica.
  • Conservação do comprimento do fio na bobina.
O Que Vamos Precisar:
  • Fórmula do torque em uma bobina.
  • Relação entre os lados do retângulo dado o comprimento total do fio.
  • Cálculos envolvendo áreas e substituição de variáveis.

Passo 2

Expressando o Torque em uma Bobina Retangular:
O torque em uma bobina retangular é dado pela fórmula:
Onde:
  • é o número de espiras (no caso, ).
  • é a corrente elétrica na bobina.
  • é a área da bobina.
  • é a intensidade do campo magnético.
  • é o ângulo entre o vetor área e o campo magnético.
Como a bobina está no plano do campo magnético, e . Assim, a fórmula simplifica para:

Passo 3

Determinação da Área da Bobina:
A bobina é retangular, então a área é dada por:
Onde:
  • é o comprimento de um lado do retângulo.
  • é o comprimento do outro lado.

Passo 4

Relação entre os Lados do Retângulo e o Comprimento Total do Fio:
O comprimento total do fio é constante e corresponde ao perímetro do retângulo:
Como o comprimento total do fio permanece inalterado, podemos isolar em função de :

Passo 5

Expressando a Área em Função de :
Substituindo na expressão da área:

Passo 6

Substituindo a Área na Fórmula do Torque:
Agora, substituímos na fórmula do torque:

Passo 7

Maximizando o Torque:
O torque atinge seu valor máximo quando a derivada de em relação a é zero. Mas, para simplificar, sabemos que o torque é máximo quando a área é máxima. A área máxima de um retângulo com perímetro fixo ocorre quando ele é um quadrado, ou seja, .
Então, temos:

Passo 8

Calculando a Área Máxima:
Substituindo na expressão da área:
á

Passo 9

Substituindo na Fórmula do Torque Máximo:
Sabemos que:
áá

Passo 10

Determinação do Comprimento Total do Fio ( ):
Quando varia de quase zero a , assumimos que o comprimento máximo de ocorre quando a bobina está alongada, então . Nesse caso, será mínimo.
Como o comprimento total do fio é constante:
Como não temos informação direta de , precisamos encontrar outra abordagem.

Passo 11

Relacionando o Perímetro com a Área Máxima:
No passo anterior, determinamos que para máxima área, . Portanto, a área máxima é:
á
Substituindo na fórmula do torque máximo:
á
Isolando :
á

Passo 12

Determinação do Perímetro ( ):
No estado de máxima área, . Quando , substituímos na equação do perímetro:

Passo 13

Calculando a Corrente ( ):
Substituindo os valores na fórmula de :

Resposta

A corrente na bobina é de .

Exercícios relacionados

O

.11 84%
Lista 01 (Reabertura)
Questão 4
Ainda não respondida Vale 20 ponto(s).
Atenção! Para esta questão, utilize o ponto (.) como separador decimal.
Uma caixa cúbica, de massa desprezivel e de lado deve ser construída. Considere a densidade do liquido despejado dentro da caixa como sendo e a aceleração da gravidade .
Quando a caixa estiver totalmente cheia do líquido, determine:
(a) a pressão média no chão da caixa em .

(b) a pressão média em cada lateral da caixa em kPa.
Um gerador de corrente alternada com produz oscilações em um circuito série com e . Determine:
c) a amplitude da corrente.
Um circuito de uma única malha é formado por um resistor de , um indutor de e um capacitor de . Inicialmente, o capacitor possui uma carga de e a corrente é zero. Calcule a carga do capacitor após ciclos completos para:
(a)