Uma bobina retangular percorrida por corrente está no plano de um campo magnético uniforme de módulo . A bobina é formada por uma única espira de fio flexível enrolado em um suporte flexível que permite mudar as dimensões do retângulo. (O comprimento total do fio permanece inalterado.) Quando o comprimento de um dos lados do retângulo varia de aproximadamente zero para o valor máximo de aproximadamente , o módulo do torque passa por um valor máximo de Qual é a corrente na bobina?
Passo 1
Resumindo o Problema e Identificando o Conteúdo:
Temos uma bobina retangular com uma única espira de fio flexível que está inserida em um campo magnético uniforme de intensidade . A bobina pode mudar o formato do retângulo mantendo o comprimento total do fio constante. Quando um dos lados do retângulo, com comprimento , varia de quase zero até aproximadamente , o torque atinge seu valor máximo de . Nosso objetivo é determinar a corrente elétrica presente na bobina.
Conteúdo da Matéria:
Torque em circuitos elétricos.
Relação entre torque, corrente, área da bobina e campo magnético.
Cálculo da área de uma figura geométrica.
Conservação do comprimento do fio na bobina.
O Que Vamos Precisar:
Fórmula do torque em uma bobina.
Relação entre os lados do retângulo dado o comprimento total do fio.
Cálculos envolvendo áreas e substituição de variáveis.
Passo 2
Expressando o Torque em uma Bobina Retangular:
O torque em uma bobina retangular é dado pela fórmula:
Onde:
é o número de espiras (no caso, ).
é a corrente elétrica na bobina.
é a área da bobina.
é a intensidade do campo magnético.
é o ângulo entre o vetor área e o campo magnético.
Como a bobina está no plano do campo magnético, e . Assim, a fórmula simplifica para:
Passo 3
Determinação da Área da Bobina:
A bobina é retangular, então a área é dada por:
Onde:
é o comprimento de um lado do retângulo.
é o comprimento do outro lado.
Passo 4
Relação entre os Lados do Retângulo e o Comprimento Total do Fio:
O comprimento total do fio é constante e corresponde ao perímetro do retângulo:
Como o comprimento total do fio permanece inalterado, podemos isolar em função de :
Passo 5
Expressando a Área em Função de :
Substituindo na expressão da área:
Passo 6
Substituindo a Área na Fórmula do Torque:
Agora, substituímos na fórmula do torque:
Passo 7
Maximizando o Torque:
O torque atinge seu valor máximo quando a derivada de em relação a é zero. Mas, para simplificar, sabemos que o torque é máximo quando a área é máxima. A área máxima de um retângulo com perímetro fixo ocorre quando ele é um quadrado, ou seja, .
Então, temos:
Passo 8
Calculando a Área Máxima:
Substituindo na expressão da área:
Passo 9
Substituindo na Fórmula do Torque Máximo:
Sabemos que:
Passo 10
Determinação do Comprimento Total do Fio ():
Quando varia de quase zero a , assumimos que o comprimento máximo de ocorre quando a bobina está alongada, então . Nesse caso, será mínimo.
Como o comprimento total do fio é constante:
Como não temos informação direta de , precisamos encontrar outra abordagem.
Passo 11
Relacionando o Perímetro com a Área Máxima:
No passo anterior, determinamos que para máxima área, . Portanto, a área máxima é:
Substituindo na fórmula do torque máximo:
Isolando :
Passo 12
Determinação do Perímetro ():
No estado de máxima área, . Quando , substituímos na equação do perímetro: