Um circuito de uma única malha é formado por um resistor de 7,20 Omega, um indutor de 12,0 H e um capacitor de 3,20 mu F. Inicialmente, o capacitor possui uma carga de 6,20 mu C e a corrente é zero. Calcule a carga do capacitor após N ciclos completos para:
(a) N=5

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um circuito com três componentes: um resistor de 7,20 , Omega, um indutor de 12,0 , H e um capacitor de 3,20 , mu F. Inicialmente, o capacitor tem uma carga de 6,20 , mu C e a corrente está zero. A pergunta quer saber qual será a carga do capacitor após N=5 ciclos completos.
Vamos precisar usar conceitos de circuitos RLC (Resistor-Indutor-Capacitor), especialmente sobre oscilações no circuito e como a resistência afeta essas oscilações ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros do circuito:
  • Resistência, R = 7,20 , Omega
  • Indutância, L = 12,0 , H
  • Capacitância, C = 3,20 , mu F = 3,20 times 10^-6 , F
Sabemos que a resistência R causa um amortecimento nas oscilações do circuito, fazendo com que a amplitude das oscilações diminua com o tempo. Isso é chamado de amortecimento crítico ou subamortecido, dependendo dos valores de R, L e C.

Passo 3

Precisamos calcular a frequência angular amortecida omegad e a taxa de amortecimento alpha.
A taxa de amortecimento é dada por:
alpha = R2L
Substituindo os valores:
alpha = 7,20 , Omega2 times 12,0 , H = 7,2024 = 0,3 , s^-1
Agora, calculamos a frequência natural omega0:
omega0 = 1raizLC
Substituindo os valores:
omega0 = 1raiz12,0 times 3,20 times 10^-6 = 1raiz3,84 times 10^-5 approx 16,2 times 10^-3 approx 161,3 , rad/s
A frequência angular amortecida é:
omegad = raizomega0^2 - alpha^2
Substituindo os valores:
omegad = raiz(161,3)^2 - (0,3)^2 approx raiz26.04 times 10^3 - 0,09 approx 161,3 , rad/s
Como alpha é muito pequeno comparado a omega0, omegad approx omega0.

Passo 4

A carga no capacitor ao longo do tempo é dada por:
Q(t) = Q0 e^-alpha t cos(omegad t + phi)
Onde:
  • Q0 = 6,20 , mu C
  • phi é a fase inicial. Como a corrente inicial é zero e a carga máxima está no início, phi = 0.
Então:
Q(t) = 6,20 times 10^-6 e^-0,3 t cos(161,3 t)

Passo 5

Queremos encontrar a carga após N=5 ciclos completos. Primeiro, precisamos determinar o período T de um ciclo:
T = 2piomegad approx 2pi161,3 approx 0,0389 , s
O tempo total para 5 ciclos é:
t = N times T = 5 times 0,0389 approx 0,1945 , s

Passo 6

Agora, substituímos t = 0,1945 , s na expressão da carga:
Q(0,1945) = 6,20 times 10^-6 e^-0,3 times 0,1945 cos(161,3 times 0,1945)
Calculando o exponencial:
e^-0,3 times 0,1945 approx e^-0,05835 approx 0,9433
Calculando o cosseno:
cos(161,3 times 0,1945) approx cos(31,33) approx 0,9995 (como 31,33 radianos é múéú

Resposta

Após 5 ciclos completos, a carga no capacitor é aproximadamente:
Q approx 6,20 times 10^-6 times 0,9433 times 0,9995 approx 5,85 , mu C

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