Um circuito de uma única malha é formado por um resistor de
, um indutor de
e um capacitor de
. Inicialmente, o capacitor possui uma carga de
e a corrente é zero. Calcule a carga do capacitor após
ciclos completos para:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um circuito com três componentes: um resistor de
, um indutor de
e um capacitor de
. Inicialmente, o capacitor tem uma carga de
e a corrente está zero. A pergunta quer saber qual será a carga do capacitor após
ciclos completos.
Vamos precisar usar conceitos de circuitos RLC (Resistor-Indutor-Capacitor), especialmente sobre oscilações no circuito e como a resistência afeta essas oscilações ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros do circuito:
- Resistência,
- Indutância,
- Capacitância,
Sabemos que a resistência
causa um amortecimento nas oscilações do circuito, fazendo com que a amplitude das oscilações diminua com o tempo. Isso é chamado de amortecimento crítico ou subamortecido, dependendo dos valores de
,
e
.
Passo 3
Precisamos calcular a frequência angular amortecida
e a taxa de amortecimento
.
A taxa de amortecimento é dada por:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos a frequência natural
:
Substituindo os valores:
A frequência angular amortecida é:
Substituindo os valores:
Como
é muito pequeno comparado a
,
.
Passo 4
A carga no capacitor ao longo do tempo é dada por:
Onde:
-
-
é a fase inicial. Como a corrente inicial é zero e a carga máxima está no início, .
Então:
Passo 5
Queremos encontrar a carga após
ciclos completos. Primeiro, precisamos determinar o período
de um ciclo:
O tempo total para
ciclos é:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão da carga:
Calculando o exponencial:
Calculando o cosseno:
Resposta
Após
ciclos completos, a carga no capacitor é aproximadamente: