Uma bola de aço inoxidável ( rho=8055 kg / m^3, c=480 J / kg cdot ^circ C ) de 15 cm de diâmetro é removida de um forno a uma temperatura uniforme de 350^circ C. A bola é então colocada em um fluxo de ar a 1 atm e 30^circ C com uma velocidade de 6 m / s. A temperatura da superfície da bola eventualmente cai para 250^circ C. Determine o coeficiente convectivo médio de transferência de calor durante o processo de resfriamento e estime quanto tempo é necessário para se alcançar a temperatura de 250^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bola de aço inoxidável que foi tirada do forno e colocada em um fluxo de ar para esfriar. A matéria que vamos usar aqui é Transferência de Calor, especificamente o Resfriamento por Convecção. Vamos precisar aplicar fórmulas de calor específico, densidade, área de superfície e a lei de resfriamento de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as propriedades da bola e as condições iniciais:
  • Densidade ( rho) = 8055 kg/m³
  • Calor específico ( c) = 480 J/(kg·°C)
  • Diâmetro = 15 cm = 0,15 m (convertendo para metros)
  • Temperatura inicial ( Ti) = 350°C
  • Temperatura ambiente ( Tinfty) = 30°C
  • Temperatura final ( Tf) = 250°C
  • Velocidade do ar ( v) = 6 m/s

Passo 3

Vamos calcular a massa da bola. A massa ( m) pode ser encontrada usando a densidade e o volume da esfera:
m = rho times V
O volume ( V) de uma esfera é:
V = 43 pi r^3
Onde r é o raio. Como o diâmetro é 0,15 m, o raio r é 0,075 m.
Calculando o volume:
V = 43 pi (0,075)^3 approx 0,001767 m^3
Então, a massa:
m = 8055 times 0,001767 approx 14,2 kg

Passo 4

Agora, vamos calcular a quantidade de calor que a bola perde para mudar sua temperatura de 350°C para 250°C. Isso usa a fórmula do calor sensível:
Q = m times c times De
Onde De.
Calculando:
Q = 14,2 times 480 times 100 approx 681600 J

Passo 5

Para encontrar o tempo necessário para essa perda de calor, vamos usar a lei de resfriamento de Newton:
Q = h times A times Deí
Queremos encontrar o coeficiente convectivo ( h), mas primeiro precisamos achar a área da superfície da bola.
A área ( A) de uma esfera é:
A = 4 pi r^2 = 4 pi (0,075)^2 approx 0,0707 m^2

Passo 6

Reorganizando a fórmula para resolver o tempo ( t):
t = Qh times A times Deí
Mas também sabemos que a taxa de transferência de calor pode ser relacionada com o fluxo de calor convectivo. Portanto, para encontrar h, precisamos de mais informações ou fazer uma aproximação usando a relação entre o número de Nusselt e o número de Reynolds.

Passo 7

Vamos calcular o número de Reynolds ( Re) para verificar se o fluxo é laminar ou turbulento:
Re = rho times v times Dmu
Onde D é o diâmetro (0,15 m) e mu é a viscosidade dinâmica do ar. Vamos assumir mu approx 1,8 times 10^-5 Pa·s.
Calculando:
Re = 1,2 times 6 times 0,151,8 times 10^-5 approx 60000
Como Re > 4000, o fluxo é turbulento.

Passo 8

Para fluxo turbulento, usamos a correlação de Nusselt para esferas:
Nu = 0,3 + 0,62 Re^1/2 Pr^1/3
Onde Pr é o número de Prandtl. Para o ar, Pr approx 0,71.
Calculando Nu:
Nu = 0,3 + 0,62 times (60000)^1/2 times (0,71)^1/3 approx 0,3 + 0,62 times 244,95 times 0,89 approx 135 (aproximadamente)

Passo 9

Agora, o coeficiente convectivo ( h) é dado por:
h = Nu times kD
Onde k é a condutividade térmica do ar, aproximadamente 0,026 W/(m·°C).
Calculando:
h = 135 times 0,0260,15 approx 23,4 W/(m^2·°C)

Passo 10

Com o valor de h, podemos agora calcular o tempo necessário para a bola esfriar de 350°C para 250°C usando a equação de resfriamento:
Q = h times A times Deí
Rearranjando para t:
t = Qh times A times Deí
Substituindo os valores:
t = 68160023,4 times 0,0707 times 100 approx 681600165,618 approx 4116 segundos
Convertendo para minutos:
411660 approx 68,6 minutos

Resposta

O coeficiente convectivo médio de transferência de calor durante o processo de resfriamento é aproximadamente 23,4 W/(m²·°C) e o tempo necessário para a bola atingir a temperatura de 250°C é de cerca de 69 minutos.

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