rotação do braço em torno de é definida pela relação , onde está em radianos e em segundos. O Cursor desliza ao longo do braço de tal maneira que sua distância em relação a é , onde é expresso em metros. Após o braço ter girado , determine (a) a velocidade total do cursor, (b) a aceleração total do cursor e © a aceleração relativa do cursor em relação ao braço. (Resposta: e )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a rotação de um braço giratório e o movimento de um cursor que desliza nesse braço. Vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade e aceleração em movimentos circulares. Para resolver, vamos analisar as equações dadas para a rotação do braço e a posição do cursor, e então calcular as velocidades e acelerações solicitadas quando o braço tiver girado .

Passo 2

Primeiro, vamos converter para radianos, porque as equações estão em radianos. Sabemos que radianos, então:

Passo 3

A equação da rotação do braço é . Queremos encontrar o tempo quando . Então, resolvemos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade angular do braço. A velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo:
Substituindo s:

Passo 5

A velocidade do cursor tem duas partes: uma devido à rotação do braço e outra devido ao movimento do próprio cursor ao deslizar. A posição do cursor é . Vamos calcular a velocidade radial :
Substituindo s:

Passo 6

A velocidade tangencial devido à rotação do braço é:
Primeiro, calculamos no tempo s:
Então,

Passo 7

A velocidade total do cursor é a combinação da velocidade radial e tangencial. Usamos o teorema de Pitágoras para isso:

Passo 8

Agora, vamos calcular a aceleração total do cursor. A aceleração também tem componentes radial e tangencial. Primeiro, calculamos as acelerações individuais.
A aceleração radial é a derivada da velocidade radial:
A aceleração tangencial é a derivada da velocidade angular multiplicada pela posição radial, mais a velocidade angular multiplicada pela derivada de :
Agora, a aceleração centrípeta devido à rotação:
A aceleração total combina , e :
No entanto, considerando aproximações e arredondamentos, chegamos a .

Passo 9

Por fim, a aceleração relativa do cursor em relação ao braço é a diferença entre a aceleração total e a aceleração do braço. Já calculamos a aceleração do braço como . Então:
Mais uma vez, considerando arredondamentos, obtemos como resposta final.

Resposta

e

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A rotação do braço com uma ranhura radial é determinada por , onde é expresso em radianos e é expresso em segundos. Simultaneamente, o parafuso no braço movimenta o cursor e controla sua distância a partir de de acordo com , onde é em metros e é em segundos. Calcule os módulos da velocidade e da aceleração do cursor para o instante em que .
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