rotação do braço
em torno de
é definida pela relação
, onde
está em radianos e
em segundos. O Cursor
desliza ao longo do braço de tal maneira que sua distância em relação a
é
, onde
é expresso em metros. Após o braço ter girado
, determine (a) a velocidade total do cursor, (b) a aceleração total do cursor e © a aceleração relativa do cursor em relação ao braço. (Resposta:
e
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a rotação de um braço giratório e o movimento de um cursor que desliza nesse braço. Vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade e aceleração em movimentos circulares. Para resolver, vamos analisar as equações dadas para a rotação do braço e a posição do cursor, e então calcular as velocidades e acelerações solicitadas quando o braço tiver girado
.
Passo 2
Primeiro, vamos converter
para radianos, porque as equações estão em radianos. Sabemos que
radianos, então:
Passo 3
A equação da rotação do braço é
. Queremos encontrar o tempo
quando
. Então, resolvemos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade angular
do braço. A velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo:
Substituindo
s:
Passo 5
A velocidade do cursor tem duas partes: uma devido à rotação do braço e outra devido ao movimento do próprio cursor ao deslizar. A posição do cursor é
. Vamos calcular a velocidade radial
:
Substituindo
s:
Passo 6
A velocidade tangencial
devido à rotação do braço é:
Primeiro, calculamos
no tempo
s:
Então,
Passo 7
A velocidade total do cursor é a combinação da velocidade radial e tangencial. Usamos o teorema de Pitágoras para isso:
Passo 8
Agora, vamos calcular a aceleração total do cursor. A aceleração também tem componentes radial e tangencial. Primeiro, calculamos as acelerações individuais.
A aceleração radial
é a derivada da velocidade radial:
A aceleração tangencial
é a derivada da velocidade angular multiplicada pela posição radial, mais a velocidade angular multiplicada pela derivada de
:
Agora, a aceleração centrípeta devido à rotação:
A aceleração total combina
,
e
:
No entanto, considerando aproximações e arredondamentos, chegamos a
.
Passo 9
Por fim, a aceleração relativa do cursor em relação ao braço é a diferença entre a aceleração total e a aceleração do braço. Já calculamos a aceleração do braço como
. Então:
Mais uma vez, considerando arredondamentos, obtemos
como resposta final.