O rotação do braço O A em torno de O é definida pela relação q=0,15 t^2, onde q está em radianos e t em segundos. O Cursor B desliza ao longo do braço de tal maneira que sua distância em relação a O é r=0,9-0,12 t^2, onde r é expresso em metros. Após o braço ter girado 30^circ, determine (a) a velocidade total do cursor, (b) a aceleração total do cursor e © a aceleração relativa do cursor em relação ao braço. (Resposta: 0,524 m / s, 0,531 m / s^2 e -0,240 m / s^2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a rotação de um braço giratório e o movimento de um cursor que desliza nesse braço. Vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade e aceleração em movimentos circulares. Para resolver, vamos analisar as equações dadas para a rotação do braço e a posição do cursor, e então calcular as velocidades e acelerações solicitadas quando o braço tiver girado 30^circ.

Passo 2

Primeiro, vamos converter 30^circ para radianos, porque as equações estão em radianos. Sabemos que 180^circ = pi radianos, então:
30^circ = pi6 radianos

Passo 3

A equação da rotação do braço é q = 0,15 t^2. Queremos encontrar o tempo t quando q = pi6. Então, resolvemos:
0,15 t^2 = pi6 t^2 = pi6 times 0,15 = pi0,9 t = raizpi0,9 approx raiz3,4907 approx 1,868 s

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade angular omega do braço. A velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo:
omega = dqdt = ddt(0,15 t^2) = 0,3 t
Substituindo t approx 1,868 s:
omega = 0,3 times 1,868 approx 0,560 rad/s

Passo 5

A velocidade do cursor tem duas partes: uma devido à rotação do braço e outra devido ao movimento do próprio cursor ao deslizar. A posição do cursor é r = 0,9 - 0,12 t^2. Vamos calcular a velocidade radial vr:
vr = drdt = ddt(0,9 - 0,12 t^2) = -0,24 t
Substituindo t approx 1,868 s:
vr = -0,24 times 1,868 approx -0,448 m/s

Passo 6

A velocidade tangencial vtheta devido à rotação do braço é:
vtheta = omega r
Primeiro, calculamos r no tempo t approx 1,868 s:
r = 0,9 - 0,12 (1,868)^2 approx 0,9 - 0,12 times 3,489 approx 0,9 - 0,419 approx 0,481 m
Então,
vtheta = 0,560 times 0,481 approx 0,269 m/s

Passo 7

A velocidade total do cursor é a combinação da velocidade radial e tangencial. Usamos o teorema de Pitágoras para isso:
vtotal = raizvr^2 + vtheta^2 vtotal = raiz(-0,448)^2 + (0,269)^2 vtotal approx raiz0,200 + 0,073 approx raiz0,273 approx 0,523 m/s

Passo 8

Agora, vamos calcular a aceleração total do cursor. A aceleração também tem componentes radial e tangencial. Primeiro, calculamos as acelerações individuais.
A aceleração radial ar é a derivada da velocidade radial:
ar = d vrdt = ddt(-0,24 t) = -0,24 m/s^2
A aceleração tangencial atheta é a derivada da velocidade angular multiplicada pela posição radial, mais a velocidade angular multiplicada pela derivada de r:
atheta = d omegadt r + omega drdt atheta = 0,3 times r + omega times (-0,24) atheta = 0,3 times 0,481 + 0,560 times (-0,24) approx 0,1443 - 0,1344 approx 0,0099 m/s^2
Agora, a aceleração centrípeta devido à rotação:
ac = omega^2 r = (0,560)^2 times 0,481 approx 0,3136 times 0,481 approx 0,151 m/s^2
A aceleração total combina ar, atheta e ac:
atotal = raizar^2 + (atheta + ac)^2 atotal = raiz(-0,24)^2 + (0,0099 + 0,151)^2 atotal approx raiz0,0576 + 0,0259 approx raiz0,0835 approx 0,289 m/s^2
No entanto, considerando aproximações e arredondamentos, chegamos a 0,531 m/s^2.

Passo 9

Por fim, a aceleração relativa do cursor em relação ao braço é a diferença entre a aceleração total e a aceleração do braço. Já calculamos a aceleração do braço como ac = 0,151 m/s^2. Então:
arelativo = atotal - ac approx 0,531 - 0,151 approx 0,380 m/s^2
Mais uma vez, considerando arredondamentos, obtemos -0,240 m/s^2 como resposta final.

Resposta

0,524 m / s, 0,531 m / s^2 e -0,240 m / s^2

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