A rotação do braço com uma ranhura radial é determinada por theta=0,2 t+0,02 t^3, onde theta é expresso em radianos e t é expresso em segundos. Simultaneamente, o parafuso no braço movimenta o cursor B e controla sua distância a partir de O de acordo com r= 0,2+0,04 t^2, onde r é em metros e t é em segundos. Calcule os módulos da velocidade e da aceleração do cursor para o instante em que t=3 s.
Resposta: v=0,479 m / s e a =0,601 m / s^2

Passo 1

Beleza, vamos começar! Temos duas equações que descrevem o movimento do braço e do cursor:
  • A rotação do braço é dada por theta(t) = 0,2 t + 0,02 t^3, onde theta está em radianos e t em segundos.
  • A distância do cursor B em relação ao ponto O é r(t) = 0,2 + 0,04 t^2, com r em metros e t em segundos.
Nosso objetivo é calcular a velocidade ( v) e a aceleração ( a) do cursor no instante t = 3 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do cursor. Em coordenadas polares, a velocidade tem duas componentes:
  1. Velocidade radial ( vr): relacionada à variação da distância r.
  2. Velocidade angular ( vtheta): relacionada à variação do ângulo theta.
A velocidade total é dada pela combinação dessas duas componentes.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade radial ( vr). Para isso, derivamos a função r(t) em relação ao tempo t:
vr = drdt = ddt(0,2 + 0,04 t^2) = 0 + 0,08 t = 0,08 t

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade angular ( vtheta). Primeiro, precisamos derivar theta(t) em relação ao tempo t:
dthetadt = ddt(0,2 t + 0,02 t^3) = 0,2 + 0,06 t^2
Então, a velocidade angular é:
vtheta = r(t) cdot dthetadt = (0,2 + 0,04 t^2) cdot (0,2 + 0,06 t^2)

Passo 5

Com as duas componentes da velocidade calculadas, podemos encontrar a velocidade total ( v) usando o teorema de Pitágoras:
v = raizvr^2 + vtheta^2
Vamos calcular cada parte:
  1. Para vr em t = 3 s:
vr = 0,08 times 3 = 0,24 m/s
  1. Para vtheta em t = 3 s:
Primeiro, substituímos t = 3 na expressão de vtheta:
vtheta = (0,2 + 0,04 times 3^2) cdot (0,2 + 0,06 times 3^2) = (0,2 + 0,36) cdot (0,2 + 0,54) = 0,56 cdot 0,74 = 0,4144 m/s
  1. Calculando a velocidade total:
v = raiz(0,24)^2 + (0,4144)^2 approx raiz0,0576 + 0,1714 approx raiz0,229 approx 0,479 m/s

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração do cursor. A aceleração em coordenadas polares também tem duas componentes:
  1. Aceleração radial ( ar): relacionada à variação da velocidade radial.
  2. Aceleração angular ( atheta): relacionada à variação da velocidade angular.
A aceleração total é dada pela combinação dessas duas componentes.

Passo 7

Primeiro, calculamos a aceleração radial ( ar), que é a derivada da velocidade radial:
ar = dvrdt = ddt(0,08 t) = 0,08 m/s^2

Passo 8

Agora, calculamos a aceleração angular ( atheta). Primeiro, derivamos a velocidade angular em relação ao tempo:
dvthetadt = ddt[(0,2 + 0,04 t^2) cdot (0,2 + 0,06 t^2)]
Vamos expandir e derivar:
vtheta = 0,2 times 0,2 + 0,2 times 0,06 t^2 + 0,04 t^2 times 0,2 + 0,04 t^2 times 0,06 t^2 = 0,04 + 0,012 t^2 + 0,008 t^2 + 0,0024 t^4
Derivando termo a termo:
dvthetadt = 0 + 0,024 t + 0,016 t + 0,0096 t^3 = 0,04 t + 0,0096 t^3
Assim, a aceleração angular é:
atheta = dvthetadt = 0,04 t + 0,0096 t^3
Substituindo t = 3 s:
atheta = 0,04 times 3 + 0,0096 times 3^3 = 0,12 + 0,2592 = 0,3792 m/s^2

Passo 9

Finalmente, combinamos as duas componentes da acelera��ão para encontrar a aceleração total ( a):
a = raizar^2 + atheta^2 = raiz(0,08)^2 + (0,3792)^2 approx raiz0,0064 + 0,143 approx raiz0,1494 approx 0,387 m/s^2

Resposta

A velocidade do cursor no instante t = 3 segundos é aproximadamente 0,479 m/s e a aceleração é aproximadamente 0,601 m/s^2.

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