A rotação do braço com uma ranhura radial é determinada por
, onde
é expresso em radianos e
é expresso em segundos. Simultaneamente, o parafuso no braço movimenta o cursor
e controla sua distância a partir de
de acordo com
, onde
é em metros e
é em segundos. Calcule os módulos da velocidade e da aceleração do cursor para o instante em que
.
Resposta:
e a
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos começar! Temos duas equações que descrevem o movimento do braço e do cursor:
- A rotação do braço é dada por
, onde está em radianos e em segundos. - A distância do cursor
em relação ao ponto é , com em metros e em segundos.
Nosso objetivo é calcular a velocidade (
) e a aceleração (
) do cursor no instante
segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade do cursor. Em coordenadas polares, a velocidade tem duas componentes:
- Velocidade radial (
): relacionada à variação da distância . - Velocidade angular (
): relacionada à variação do ângulo .
A velocidade total é dada pela combinação dessas duas componentes.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade radial (
). Para isso, derivamos a função
em relação ao tempo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade angular (
). Primeiro, precisamos derivar
em relação ao tempo
:
Então, a velocidade angular é:
Passo 5
Com as duas componentes da velocidade calculadas, podemos encontrar a velocidade total (
) usando o teorema de Pitágoras:
Vamos calcular cada parte:
- Para
em s:
- Para
em s:
Primeiro, substituímos
na expressão de
:
- Calculando a velocidade total:
Passo 6
Agora, vamos calcular a aceleração do cursor. A aceleração em coordenadas polares também tem duas componentes:
- Aceleração radial (
): relacionada à variação da velocidade radial. - Aceleração angular (
): relacionada à variação da velocidade angular.
A aceleração total é dada pela combinação dessas duas componentes.
Passo 7
Primeiro, calculamos a aceleração radial (
), que é a derivada da velocidade radial:
Passo 8
Agora, calculamos a aceleração angular (
). Primeiro, derivamos a velocidade angular em relação ao tempo:
Vamos expandir e derivar:
Derivando termo a termo:
Assim, a aceleração angular é:
Substituindo
s:
Passo 9
Finalmente, combinamos as duas componentes da acelera��ão para encontrar a aceleração total (
):
Resposta
A velocidade do cursor no instante
segundos é aproximadamente
e a aceleração é aproximadamente
.