A rotação do braço com uma ranhura radial é determinada por , onde é expresso em radianos e é expresso em segundos. Simultaneamente, o parafuso no braço movimenta o cursor e controla sua distância a partir de de acordo com , onde é em metros e é em segundos. Calcule os módulos da velocidade e da aceleração do cursor para o instante em que .
Resposta: e a

Passo 1

Beleza, vamos começar! Temos duas equações que descrevem o movimento do braço e do cursor:
  • A rotação do braço é dada por , onde está em radianos e em segundos.
  • A distância do cursor em relação ao ponto é , com em metros e em segundos.
Nosso objetivo é calcular a velocidade ( ) e a aceleração ( ) do cursor no instante segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do cursor. Em coordenadas polares, a velocidade tem duas componentes:
  1. Velocidade radial ( ): relacionada à variação da distância .
  2. Velocidade angular ( ): relacionada à variação do ângulo .
A velocidade total é dada pela combinação dessas duas componentes.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade radial ( ). Para isso, derivamos a função em relação ao tempo :

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade angular ( ). Primeiro, precisamos derivar em relação ao tempo :
Então, a velocidade angular é:

Passo 5

Com as duas componentes da velocidade calculadas, podemos encontrar a velocidade total ( ) usando o teorema de Pitágoras:
Vamos calcular cada parte:
  1. Para em s:
  1. Para em s:
Primeiro, substituímos na expressão de :
  1. Calculando a velocidade total:

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração do cursor. A aceleração em coordenadas polares também tem duas componentes:
  1. Aceleração radial ( ): relacionada à variação da velocidade radial.
  2. Aceleração angular ( ): relacionada à variação da velocidade angular.
A aceleração total é dada pela combinação dessas duas componentes.

Passo 7

Primeiro, calculamos a aceleração radial ( ), que é a derivada da velocidade radial:

Passo 8

Agora, calculamos a aceleração angular ( ). Primeiro, derivamos a velocidade angular em relação ao tempo:
Vamos expandir e derivar:
Derivando termo a termo:
Assim, a aceleração angular é:
Substituindo s:

Passo 9

Finalmente, combinamos as duas componentes da acelera��ão para encontrar a aceleração total ( ):

Resposta

A velocidade do cursor no instante segundos é aproximadamente e a aceleração é aproximadamente .

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Uma bola é arremessada verticalmente de uma altura de 12 m de um poço de elevador com velocidade inicial de . No mesmo instante, um elevador de plataforma aberta passa pelo nível de 5 m , subindo com velocidade de . Determine (a) quando e onde a bola atinge o elevador e (b) a velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge.
Resposta: e y , Vrelativa
Um radar de rastreamento situa-se no plano vertical da trajetória de um foguete que está se deslocando em um vôo sem propulsão acima da atmosfera. Para o instante em que , os dados de rastreamento fornecem , e . A aceleraçāo do foguete é devida apenas à atração gravitacional e para sua altitude em particular é verticalmente para baixo. Para estas condições determine a velocidade do foguete e os valores de e .
Resposta: e
rotação do braço em torno de é definida pela relação , onde está em radianos e em segundos. O Cursor desliza ao longo do braço de tal maneira que sua distância em relação a é , onde é expresso em metros. Após o braço ter girado , determine (a) a velocidade total do cursor, (b) a aceleração total do cursor e © a aceleração relativa do cursor em relação ao braço. (Resposta: e )
O movimento curvilíneo de uma partícula é definido por e , onde é em metros por segundo, y é em metros, e é em segundos. Também é conhecido que quando . Faça um gráfico da trajetória da partícula e determine a sua velocidade e aceleração quando a posição é atingida.
Resposta: e a