Uma bola é atirada para cima do alto de uma torre. A distancia d, em metros, da bola até o solo é dada por d=80+30t-5t^2,em que t representa o tempo, em segundos, transcorrido após o lancamento da bola. Para que valor, em segundo, a distancia da bola até o solo e igual a 45 metros?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de movimento onde uma bola é atirada para cima de uma torre. A distância da bola até o chão é dada pela fórmula $ d = 80 + 30t - 5t^2 $, onde $ d $ é a distância em metros e $ t $ é o tempo em segundos após o lançamento. Queremos descobrir em quanto tempo $ t $ a distância $ d $ será igual a 45 metros. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ d $ por 45 na equação para encontrar o tempo $ t $:
d
Aqui, estamos igualando a posição da bola a 45 metros.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação quadrática, que é $ ax^2 + bx + c = 0 $. Vamos subtrair 45 de ambos os lados:
ax^2 + bx + c = 0
Simplificando:
0 = 80 + 30t - 5t^2 - 45

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar todos os termos por -1 para tornar o coeficiente de $ t^2 $ positivo:
t^2
Agora, temos uma equação quadrática mais fácil de trabalhar: $ 5t^2 - 30t - 35 = 0 $.

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara, que é:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 5 $, $ b = -30 $ e $ c = -35 $. Substituindo esses valores na fórmula:
a = 5
Calculando passo a passo:
b = -30
c = -35
t = -(-30) pm raiz(-30)^2 - 4 times 5 times (-35)2 times 5

Passo 6

Agora, temos duas soluções possíveis:
  1. $ t = \frac{30 + 40}{10} = \frac{70}{10} = 7 $ segundos
  2. $ t = \frac{30 - 40}{10} = \frac{-10}{10} = -1 $ segundo
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos $ t = -1 $ segundo. Portanto, a solução válida é $ t = 7 $ segundos.

Resposta

A distância da bola até o solo é igual a 45 metros após 7 segundos.

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