A bola B, de tamanho desprezível, rola num tubo, de forma que num dado instante ela tem velocidade de 5 pés / s e uma aceleração de 3 pés / s^2, medidas relativamente ao tubo. Se o tubo tem velocidade angular omega=3 rad / s e aceleração alpha=5 rad / s^2, nesse instante, determinar a velocidade e aceleração da bola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola que rola dentro de um tubo que está girando. No momento que estamos analisando, a bola tem uma velocidade de 5 pés por segundo e uma aceleração de 3 pés por segundo ao quadrado, tudo isso relativo ao tubo. O tubo, por sua vez, está girando com uma velocidade angular de 3 radianos por segundo e uma aceleração angular de 5 radianos por segundo ao quadrado. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade e a aceleração da bola em relação ao chão (ou seja, no referencial fixo).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando a bola está rolando dentro do tubo que está girando, a velocidade e a aceleração que a bola tem em relação ao tubo não são as mesmas que ela tem em relação ao chão. Para encontrar a velocidade e a aceleração da bola no referencial do chão, precisamos levar em conta a rotação do tubo.

Passo 3

A velocidade total da bola em relação ao chão (v_total) é a soma vetorial da velocidade da bola relativa ao tubo (v_rel) e da velocidade de rotação do tubo no ponto onde a bola está. Como o tubo está girando com uma velocidade angular ω, a velocidade de rotação no ponto da bola é dada por:
vrot = omega times r
Onde r é o raio do tubo. Porém, como o raio não foi fornecido e a bola é de tamanho desprezível, consideramos que a contribuição da rotação do tubo para a velocidade total é zero. Assim, a velocidade total da bola é a mesma relativa ao tubo:
vtotal = vrel = 5 , pés/s é

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração total da bola em relação ao chão (a_total). A aceleração relativa ao tubo é 3 pés/s², mas precisamos adicionar a aceleração devido à rotação do tubo. A aceleração total será a soma da aceleração relativa e das componentes causadas pela rotação:
atotal = arel + arot
Onde a aceleração devido à rotação é:
arot = alpha times r
Novamente, considerando que o raio r é desprezível, a contribuição da aceleração angular do tubo para a aceleração total da bola também é zero. Portanto, a aceleração total da bola é igual à aceleração relativa ao tubo:
atotal = arel = 3 , pés/s² é²

Resposta

A velocidade da bola em relação ao chão é de 5 pés por segundo e a aceleração é de 3 pés por segundo ao quadrado.

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