Uma bola cai livremente de uma altura H sobre um suporte elástico horizontal. Construir o gráfico da variação da coordenada e da velocidade da bola em função do tempo, considerando, que o tempo de choque pode ser desprezado. O choque é absolutamente elástico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma bola que cai de uma altura $ H $ e bate em um suporte elástico. Nosso objetivo é construir os gráficos que mostram como a posição (coordenada $ y H v $) da bola mudam com o tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cinemática (que estuda o movimento) e colisões elásticas (onde a energia cinética é conservada). Vamos precisar lembrar das fórmulas de movimento sob a gravidade e das propriedades das colisões totalmente elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a queda da bola antes dela bater no suporte. Quando a bola está caindo livremente, a única força atuando é a da gravidade. A equação da posição em função do tempo ($ y(t) $) é dada por:
y(t)
Aqui, $ H $ é a altura inicial, $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $), e $ t $ é o tempo.
A velocidade da bola nesse período pode ser encontrada derivando a posição em relação ao tempo:
y(t) = H - 12 g t^2
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.

Passo 3

Agora, vamos determinar o momento em que a bola bate no suporte. Isso acontece quando a posição $ y(t) $ iguala a zero:
y(t)
Resolvendo para $ t_1 $:
0 = H - 12 g t1^2
Esse é o tempo que a bola leva para chegar ao suporte.

Passo 4

Como o choque é absolutamente elástico, a bola vai rebater com a mesma velocidade que tinha ao impactar, mas na direção oposta. Então, após o impacto, a posição e a velocidade da bola passam a ser:
y(t) = 12 g (t - t1)^2
v(t) = g (t - t1)
Aqui, $ t - t_1 $ representa o tempo após o impacto.

Passo 5

Para resumir, temos duas fases no movimento da bola:
  1. Queda livre (antes do impacto):
    y(t) = H - 12 g t^2
    v(t) = -g t
  2. Subida após o impacto (após o impacto):
    y(t) = 12 g (t - t1)^2
    v(t) = g (t - t1)

Resposta

Os gráficos da coordenada $ y(t) $ e da velocidade $ v(t) $ da bola em função do tempo são:
  • Durante a queda livre ($ 0 \leq t \leq t_1 $):
    y(t)
    v(t)
  • Após o impacto ($ t > t_1 $):
    0 <= t <= t1
    y(t) = H - 12 g t^2
Onde $ t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}} $ é o tempo que a bola leva para atingir o suporte.

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