Uma bola cai livremente de uma altura H sobre um suporte elástico horizontal. Construir o gráfico da variação da coordenada e da velocidade da bola em função do tempo, considerando, que o tempo de choque pode ser desprezado. O choque é absolutamente elástico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma bola que cai de uma altura $ H $ e bate em um suporte elástico. Nosso objetivo é construir os gráficos que mostram como a posição (coordenada $ y
v $) da bola mudam com o tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cinemática (que estuda o movimento) e colisões elásticas (onde a energia cinética é conservada). Vamos precisar lembrar das fórmulas de movimento sob a gravidade e das propriedades das colisões totalmente elásticas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a queda da bola antes dela bater no suporte. Quando a bola está caindo livremente, a única força atuando é a da gravidade. A equação da posição em função do tempo ($ y(t) $) é dada por:
Aqui, $ H $ é a altura inicial, $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $), e $ t $ é o tempo.
A velocidade da bola nesse período pode ser encontrada derivando a posição em relação ao tempo:
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.
Passo 3
Agora, vamos determinar o momento em que a bola bate no suporte. Isso acontece quando a posição $ y(t) $ iguala a zero:
Resolvendo para $ t_1 $:
Esse é o tempo que a bola leva para chegar ao suporte.
Passo 4
Como o choque é absolutamente elástico, a bola vai rebater com a mesma velocidade que tinha ao impactar, mas na direção oposta. Então, após o impacto, a posição e a velocidade da bola passam a ser:
Aqui, $ t - t_1 $ representa o tempo após o impacto.
Passo 5
Para resumir, temos duas fases no movimento da bola:
-
Queda livre (antes do impacto):
-
Subida após o impacto (após o impacto):
Resposta
Os gráficos da coordenada $ y(t) $ e da velocidade $ v(t) $ da bola em função do tempo são:
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Durante a queda livre ($ 0 \leq t \leq t_1 $):
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Após o impacto ($ t > t_1 $):
Onde $ t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}} $ é o tempo que a bola leva para atingir o suporte.