Uma bola desce um plano inclinado de modo que a distância (cm) que ela percorre em t segundos é dada por s(t) = 2t³ + 3t² + 4. Determine o instante em que a velocidade é de 36 cm/s.

Passo 1

Então, temos uma bola descendo um plano inclinado e a distância que ela percorre em $ t $ segundos é dada pela função $ s(t) = 2t^3 + 3t^2 + 4 $ centímetros. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir em que instante a velocidade da bola é de 36 cm/s.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da bola em função do tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ s(t) $:
s(t)

Passo 3

Agora, sabemos que a velocidade $ v(t) $ deve ser igual a 36 cm/s. Vamos igualar a expressão da velocidade a 36 e resolver para $ t $:
v(t)

Passo 4

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 6:
t^2 + t = 6
Subtraímos 6 de ambos os lados para obter uma equação quadrática igual a zero:
t^2 + t - 6 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • $ a = 1 $
  • $ b = 1 $
  • $ c = -6 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
a = 1

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:
t = -1 pm raiz252 = -1 pm 52
Isso nos dá duas soluções:
t1 = 42 = 2 e t2 = -62 = -3

Passo 7

Como o tempo não pode ser negativo, descartamos $ t_2 = -3 $. Portanto, o instante em que a velocidade é de 36 cm/s é $ t = 2 $ segundos.

Resposta

O instante em que a velocidade é de 36 cm/s é após 2 segundos.

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