Uma bola desce um plano inclinado de modo que a distância (cm) que ela percorre em t segundos é dada por s(t) = 2t³ + 3t² + 4. Determine o instante em que a velocidade é de 36 cm/s.
Passo 1
Então, temos uma bola descendo um plano inclinado e a distância que ela percorre em $ t $ segundos é dada pela função $ s(t) = 2t^3 + 3t^2 + 4 $ centímetros. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir em que instante a velocidade da bola é de 36 cm/s.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da bola em função do tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ s(t) $:
Passo 3
Agora, sabemos que a velocidade $ v(t) $ deve ser igual a 36 cm/s. Vamos igualar a expressão da velocidade a 36 e resolver para $ t $:
Passo 4
Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 6:
Subtraímos 6 de ambos os lados para obter uma equação quadrática igual a zero:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 1 $
- $ b = 1 $
- $ c = -6 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 6
Aplicando os valores na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos $ t_2 = -3 $. Portanto, o instante em que a velocidade é de 36 cm/s é $ t = 2 $ segundos.
Resposta
O instante em que a velocidade é de 36 cm/s é após 2 segundos.