Uma bola homogênea de massa
e raio R rola suavemente, a partir del reposo, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta
grados. A bola descee uma distância vertical
para llegar a base da rampa. d) Qual é su velecidad angular correspondiente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola homogênea com massa
e raio
que começa a rolar do repouso descendo uma rampa inclinada de
. A bola desce uma altura vertical
. Queremos encontrar a velocidade angular
da bola quando ela chega ao final da rampa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Energia Mecânica e Movimento Rotacional. Precisaremos aplicar a conservação da energia e a relação entre velocidade linear e angular quando o objeto está rolando sem deslizar.
Passo 2
Quando a bola desce a rampa, ela converte energia potencial gravitacional em energia cinética de translação e energia cinética de rotação. A energia potencial inicial é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade (
).
Passo 3
A energia cinética total no final da descida é a soma da energia cinética de translação (
) e da energia cinética de rotação (
):
Para uma bola homogênea, o Momento de Inércia
é:
Passo 4
Como a bola está rolando sem deslizar, a velocidade linear
está relacionada à velocidade angular
pela relação:
Podemos substituir
por
na equação da energia total.
Passo 5
Aplicando a conservação da energia (energia potencial inicial igual à energia cinética total final):
Passo 6
Simplificando a equação:
Passo 7
Cancelando a massa
dos dois lados e isolando
:
Passo 8
Calculando a velocidade linear
:
Substituindo
e
:
Passo 9
Agora, usando a relação entre
e
:
Substituindo
:
Resposta
A velocidade angular da bola ao chegar à base da rampa é:
onde
é o raio da bola.