Uma bola homogênea de massa M=8 kg e raio R rola suavemente, a partir del reposo, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta =30 grados. A bola descee uma distância vertical H=1,20 m para llegar a base da rampa. d) Qual é su velecidad angular correspondiente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola homogênea com massa M = 8,kg e raio R que começa a rolar do repouso descendo uma rampa inclinada de theta = 30^circ. A bola desce uma altura vertical H = 1,20,m. Queremos encontrar a velocidade angular omega da bola quando ela chega ao final da rampa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Energia Mecânica e Movimento Rotacional. Precisaremos aplicar a conservação da energia e a relação entre velocidade linear e angular quando o objeto está rolando sem deslizar.

Passo 2

Quando a bola desce a rampa, ela converte energia potencial gravitacional em energia cinética de translação e energia cinética de rotação. A energia potencial inicial é dada por:
Epotencial = M cdot g cdot H
onde g é a aceleração da gravidade ( approx 9,81,m/s^2).

Passo 3

A energia cinética total no final da descida é a soma da energia cinética de translação ( Etrans) e da energia cinética de rotação ( Erot):
Etotal = Etrans + Erot = 12 M v^2 + 12 I omega^2
Para uma bola homogênea, o Momento de Inércia I é:
I = 25 M R^2

Passo 4

Como a bola está rolando sem deslizar, a velocidade linear v está relacionada à velocidade angular omega pela relação:
v = omega R
Podemos substituir omega por v/R na equação da energia total.

Passo 5

Aplicando a conservação da energia (energia potencial inicial igual à energia cinética total final):
M g H = 12 M v^2 + 12 ( 25 M R^2 ) ( vR )^2

Passo 6

Simplificando a equação:
M g H = 12 M v^2 + 15 M v^2
M g H = ( 12 + 15 ) M v^2
M g H = 710 M v^2

Passo 7

Cancelando a massa M dos dois lados e isolando v^2:
g H = 710 v^2
v^2 = 107 g H

Passo 8

Calculando a velocidade linear v:
v = raiz 107 g H
Substituindo g = 9,81,m/s^2 e H = 1,20,m:
v = raiz 107 times 9,81,m/s^2 times 1,20,m approx raiz 20,04 approx 4,48,m/s

Passo 9

Agora, usando a relação entre v e omega:
omega = vR
Substituindo v approx 4,48,m/s:
omega = 4,48R,rad/s

Resposta

A velocidade angular da bola ao chegar à base da rampa é:
omega = 4,48R,rad/s
onde R é o raio da bola.

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