Uma bola homogênea de massa e raio R rola suavemente, a partir del reposo, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta grados. A bola descee uma distância vertical para llegar a base da rampa. d) Qual é su velecidad angular correspondiente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola homogênea com massa e raio que começa a rolar do repouso descendo uma rampa inclinada de . A bola desce uma altura vertical . Queremos encontrar a velocidade angular da bola quando ela chega ao final da rampa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Energia Mecânica e Movimento Rotacional. Precisaremos aplicar a conservação da energia e a relação entre velocidade linear e angular quando o objeto está rolando sem deslizar.

Passo 2

Quando a bola desce a rampa, ela converte energia potencial gravitacional em energia cinética de translação e energia cinética de rotação. A energia potencial inicial é dada por:
onde é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 3

A energia cinética total no final da descida é a soma da energia cinética de translação ( ) e da energia cinética de rotação ( ):
Para uma bola homogênea, o Momento de Inércia é:

Passo 4

Como a bola está rolando sem deslizar, a velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela relação:
Podemos substituir por na equação da energia total.

Passo 5

Aplicando a conservação da energia (energia potencial inicial igual à energia cinética total final):

Passo 6

Simplificando a equação:

Passo 7

Cancelando a massa dos dois lados e isolando :

Passo 8

Calculando a velocidade linear :
Substituindo e :

Passo 9

Agora, usando a relação entre e :
Substituindo :

Resposta

A velocidade angular da bola ao chegar à base da rampa é:
onde é o raio da bola.

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Considere os vetores de deslocamento abaixo, sabendo que cada quadrado está na medida de . Calcule o deslocamento resultante de:
f) .
Uma bola homogênea de massa e raio R rola suavemente, a partir del reposo, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta grados. A bola descee uma distância vertical para llegar a base da rampa. a) indique todas as forzas actuantes sobre la bola (considere el exe-x apuntando em direccion creciente de la rampa).
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