Uma bola é jogada sobre um telhado, pousando sobre ele 4 s após o lançamento. O telhado está a 20 m acima do ponto de lançamento. A velocidade final da bola, justo antes de tocar o telhado, faz um ângulo de 30^circ com a horizontal.
Encontre a distância horizontal d que a bola viajou.

Passo 1

Então, temos uma bola que é lançada e demora 4 segundos para pousar em um telhado que está 20 metros acima do ponto de lançamento. A velocidade final da bola, antes de tocar o telhado, faz um ângulo de 30^circ com a horizontal. Vamos usar os conceitos de movimento de projéteis e cinemática para descobrir qual é a distância horizontal d que a bola percorreu.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes da velocidade final da bola. Sabemos que a velocidade faz um ângulo de 30^circ com a horizontal. Podemos separar essa velocidade nas componentes horizontal ( vx) e vertical ( vy) usando funções trigonométricas.
vx = v cdot cos(30^circ)
vy = v cdot sin(30^circ)

Passo 3

Como a aceleração na direção horizontal é zero (sem resistência do ar), a componente horizontal da velocidade vx permanece constante durante todo o voo. A distância horizontal d é então:
d = vx cdot t
Onde t = 4,s.

Passo 4

Agora, vamos analisar o movimento vertical. A bola começa do repouso na vertical com certa velocidade inicial, sobe e desce devido à gravidade, atingindo uma altura adicional de 20 metros no telhado.
A posição vertical no tempo t é:
y = vy0 cdot t - 12 g t^2
Sabemos que y = 20,m e t = 4,s, onde g = 9,8,m/s^2.

Passo 5

Substituindo os valores na equação vertical:
20 = vy0 cdot 4 - 12 cdot 9,8 cdot (4)^2
20 = 4vy0 - 78,4
4vy0 = 98,4
vy0 = 24,6,m/s

Passo 6

Sabemos que a velocidade final vy é relacionada à velocidade inicial vy0 pela equação:
vy = vy0 - g t
vy = 24,6 - 9,8 cdot 4
vy = 24,6 - 39,2
vy = -14,6,m/s
O sinal negativo indica que a direção está para baixo, o que faz sentido já que a bola está descendo.

Passo 7

Agora, vamos relacionar as componentes da velocidade final com o ângulo dado. Sabemos que:
tan(30^circ) = |vy|vx
vx = |vy|tan(30^circ)
vx = 14,6raiz33 = 14,6 cdot 3raiz3 = 43,8raiz3 approx 25,31,m/s

Passo 8

Finalmente, usamos a componente horizontal da velocidade para encontrar a distância d:
d = vx cdot t = 25,31 cdot 4 approx 101,24,m

Resposta

A distância horizontal que a bola viajou é aproximadamente 101,24 metros.

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