Uma bola é jogada sobre um telhado, pousando sobre ele 4 s após o lançamento. O telhado está a 20 m acima do ponto de lançamento. A velocidade final da bola, justo antes de tocar o telhado, faz um ângulo de 30^circ com a horizontal.
Qual o modulo e a direção da velocidade inicial?

Passo 1

Vamos lá! O problema fala sobre uma bola lançada que leva 4 segundos para atingir um telhado que está 20 metros acima do ponto de lançamento. Quando a bola está prestes a tocar o telhado, sua velocidade forma um ângulo de 30^circ com a horizontal. O conteúdo aqui é de cinemática, especificamente movimento oblíquo. Para resolver, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente acelerado e decompor as velocidades nas direções horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a velocidade final da bola. Sabemos que ela faz um ângulo de 30^circ com a horizontal. Podemos decompor essa velocidade nas suas componentes horizontal ( vxf) e vertical ( vyf):
vyf = vf cdot sin(30^circ)
vxf = vf cdot cos(30^circ)

Passo 3

Sabemos que a aceleração na direção horizontal é zero (não há resistência do ar), então a velocidade horizontal inicial ( vxi) é igual à velocidade horizontal final:
vxi = vxf = vf cdot cos(30^circ)

Passo 4

Agora, vamos olhar para a direção vertical. A aceleração devido à gravidade ( g) é 9,8 , m/s²² para baixo. Usamos a equação do movimento vertical:
y = vyi cdot t + 12 a t^2
Onde:
  • y = 20 , m
  • t = 4 , s
  • a = -9,8 , m/s²² (porque a aceleração é para baixo)
Substituindo os valores:
20 = vyi cdot 4 - 12 cdot 9,8 cdot 4^2
20 = 4vyi - 78,4
4vyi = 98,4
vyi = 24,6 , m/s

Passo 5

Agora, vamos relacionar a velocidade inicial vertical com a velocidade final vertical. Usamos a equação:
vyf = vyi + a t
Onde vyf é a componente vertical da velocidade final.
Substituindo os valores:
vyf = 24,6 - 9,8 cdot 4
vyf = 24,6 - 39,2 = -14,6 , m/s
O sinal negativo indica que a velocidade final na vertical está para baixo.

Passo 6

Agora que temos vyf e sabemos que:
vyf = vf cdot sin(30^circ) = -14,6 , m/s
Podemos encontrar vf:
vf = -14,6sin(30^circ) = -14,60,5 = -29,2 , m/s
O sinal negativo indica que a direção está para baixo, mas como estamos interessados no módulo, consideramos 29,2 , m/s.

Passo 7

Agora, voltando para a componente horizontal:
vxi = vf cdot cos(30^circ) = 29,2 cdot 0,866 = 25,3 , m/s

Passo 8

Com as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial ( vxi e vyi), podemos encontrar o módulo da velocidade inicial ( vi):
vi = raizvxi^2 + vyi^2 = raiz25,3^2 + 24,6^2 approx raiz640,09 + 605,16 approx raiz1245,25 approx 35,28 , m/s
Para a direção, calculamos o ângulo theta que a velocidade inicial faz com a horizontal:
tan(theta) = vyivxi = 24,625,3 approx 0,972
theta = arctan(0,972) approx 44^circ

Resposta

A velocidade inicial da bola tem um módulo de aproximadamente 35,3 , m/s e faz um ângulo de 44^circ com a horizontal.

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