Uma bola é jogada sobre um telhado, pousando sobre ele 4 s após o lançamento. O telhado está a 20m acima do ponto de lançamento. Justo antes de tocar o telhado, o ângulo da velocidade é
.
a) Encontre a distância horizontal que a bola viajou
b) Qual o módulo e a direção da velocidade inicial?
a) Encontre a distância horizontal que a bola viajou
b) Qual o módulo e a direção da velocidade inicial?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre movimento de projéteis. A gente precisa descobrir duas coisas: (a) a distância horizontal que a bola percorreu até chegar no telhado, e (b) a velocidade inicial com que a bola foi lançada, tanto o quanto em módulo quanto a direção. Para isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado e um pouco de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Tempo total de voo:
segundos - Altura do telhado:
metros - Ângulo da velocidade justo antes de tocar o telhado:
Como a bola foi lançada de uma altura que vamos assumir ser 0 (ponto de lançamento), e foi lançada e entrou no telhado de 20 metros acima.
Passo 3
Vamos começar pelo movimento vertical. Sabemos que a aceleração vertical é a da gravidade,
. A equação que relaciona a altura, o tempo e a velocidade vertical é:
Aqui,
é a componente vertical da velocidade inicial que queremos encontrar.
Passo 4
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Resolvendo para
:
Então, a componente vertical da velocidade inicial é
.
Passo 6
Agora, vamos para a componente horizontal da velocidade. Sabemos que no movimento horizontal não há aceleração (considerando resistência do ar desprezível), então a distância horizontal
é:
Mas ainda não sabemos
. Para isso, podemos usar a informação do ângulo da velocidade na hora de tocar o telhado.
Passo 7
Justo antes de tocar o telhado, a velocidade da bola tem um ângulo de
com a horizontal. Isso significa que:
Mas melhor usar diretamente a relação:
Passo 8
Primeiro, vamos encontrar a componente vertical da velocidade no instante de tocar o telhado,
.
Sabemos que:
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.
Passo 9
Usando a relação do ângulo:
O sinal negativo indica a direção, mas como estamos buscando a magnitude, consideramos
.
Passo 10
Agora que temos
, podemos achar a distância horizontal:
Arredondando, a distância horizontal é aproximadamente
metros.
Passo 11
Por fim, para encontrar a velocidade inicial total, usamos o Teorema de Pitágoras nas componentes:
A direção da velocidade inicial é dada pelo ângulo
:
Resposta
a) A distância horizontal que a bola viajou é aproximadamente 33,8 metros.
b) O módulo da velocidade inicial é de aproximadamente 26 m/s e a direção é de 71,4 graus acima da horizontal.