Uma bola é jogada sobre um telhado, pousando sobre ele 4 s após o lançamento. O telhado está a 20m acima do ponto de lançamento. Justo antes de tocar o telhado, o ângulo da velocidade é 60^circ.
a) Encontre a distância horizontal que a bola viajou
b) Qual o módulo e a direção da velocidade inicial?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre movimento de projéteis. A gente precisa descobrir duas coisas: (a) a distância horizontal que a bola percorreu até chegar no telhado, e (b) a velocidade inicial com que a bola foi lançada, tanto o quanto em módulo quanto a direção. Para isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado e um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Tempo total de voo: segundos
  • Altura do telhado: metros
  • Ângulo da velocidade justo antes de tocar o telhado:
Como a bola foi lançada de uma altura que vamos assumir ser 0 (ponto de lançamento), e foi lançada e entrou no telhado de 20 metros acima.

Passo 3

Vamos começar pelo movimento vertical. Sabemos que a aceleração vertical é a da gravidade, h = vy0 t - 12 g t^2 ². A equação que relaciona a altura, o tempo e a velocidade vertical é:
Aqui, é a componente vertical da velocidade inicial que queremos encontrar.

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
20 = vy0 times 4 - 12 times 9,8 times 4^2
20 = 4 vy0 - 12 times 9,8 times 16
20 = 4 vy0 - 78,4

Passo 5

Resolvendo para 4 vy0 = 20 + 78,4 :
4 vy0 = 98,4
vy0 = 98,44 = 24,6 , m/s
Então, a componente vertical da velocidade inicial é .

Passo 6

Agora, vamos para a componente horizontal da velocidade. Sabemos que no movimento horizontal não há aceleração (considerando resistência do ar desprezível), então a distância horizontal d = vx t é:
Mas ainda não sabemos . Para isso, podemos usar a informação do ângulo da velocidade na hora de tocar o telhado.

Passo 7

Justo antes de tocar o telhado, a velocidade da bola tem um ângulo de tan(theta) = vyvx com a horizontal. Isso significa que:
tan(60^circ) = vyvx = raizvx^2 + vy^2vx
vy = vx tan(60^circ)
Mas melhor usar diretamente a relação:

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar a componente vertical da velocidade no instante de tocar o telhado, vy = vy0 - g t .
Sabemos que:
vy = 24,6 - 9,8 times 4 = 24,6 - 39,2 = -14,6 , m/s
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.

Passo 9

Usando a relação do ângulo:
vy = vx tan(60^circ)
-14,6 = vx times raiz3
vx = -14,6raiz3 approx -8,44 , m/s
O sinal negativo indica a direção, mas como estamos buscando a magnitude, consideramos .

Passo 10

Agora que temos d = vx t = 8,44 times 4 approx 33,76 , m , podemos achar a distância horizontal:
Arredondando, a distância horizontal é aproximadamente metros.

Passo 11

Por fim, para encontrar a velocidade inicial total, usamos o Teorema de Pitágoras nas componentes:
v0 = raizvx^2 + vy0^2 = raiz8,44^2 + 24,6^2 approx raiz71,3 + 605,2 approx raiz676,5 approx 26 , m/s
A direção da velocidade inicial é dada pelo ângulo tan(alpha) = vy0vx = 24,68,44 approx 2,91 :
alpha = arctan(2,91) approx 71,4^circ

Resposta

a) A distância horizontal que a bola viajou é aproximadamente 33,8 metros.
b) O módulo da velocidade inicial é de aproximadamente 26 m/s e a direção é de 71,4 graus acima da horizontal.

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