Utilizando a ideia de projeção entre vetores, escreva os vetores unitários da base polar como combinação linear dos vetores unitários da base canônica
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a ideia de projeção entre vetores para escrever os vetores unitários da base polar como combinações lineares dos vetores unitários da base canônica. Então, vamos trabalhar com vetores, bases e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica. No plano cartesiano, a base canônica é formada pelos vetores unitários e₁ e e₂, que apontam, respectivamente, nas direções dos eixos x e y. Eles são assim:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a base polar. Na base polar, os vetores unitários são eᵣ (radial) e eθ (angular). O vetor eᵣ aponta na direção do raio, ou seja, na direção do ponto considerado, e eθ é perpendicular a eᵣ, apontando na direção em que o ângulo θ aumenta.
Passo 4
Para expressar eᵣ e eθ em termos de e₁ e e₂, usamos funções trigonométricas. A ideia é decompor cada vetor polar nas direções dos vetores canônicos usando o cosseno e o seno do ângulo θ.
Então, temos:
Resposta
Os vetores unitários da base polar escritos como combinação linear dos vetores da base canônica são: