Utilizando a ideia de projeção entre vetores, escreva os vetores unitários da base polar como combinação linear dos vetores unitários da base canônica

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a ideia de projeção entre vetores para escrever os vetores unitários da base polar como combinações lineares dos vetores unitários da base canônica. Então, vamos trabalhar com vetores, bases e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica. No plano cartesiano, a base canônica é formada pelos vetores unitários e₁ e e₂, que apontam, respectivamente, nas direções dos eixos x e y. Eles são assim:
e1 = 1 0 , e2 = 0 1

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a base polar. Na base polar, os vetores unitários são eᵣ (radial) e (angular). O vetor eᵣ aponta na direção do raio, ou seja, na direção do ponto considerado, e é perpendicular a eᵣ, apontando na direção em que o ângulo θ aumenta.

Passo 4

Para expressar eᵣ e em termos de e₁ e e₂, usamos funções trigonométricas. A ideia é decompor cada vetor polar nas direções dos vetores canônicos usando o cosseno e o seno do ângulo θ.
Então, temos:
er = cos(theta) e1 + sin(theta) e2
etheta = -sin(theta) e1 + cos(theta) e2

Resposta

Os vetores unitários da base polar escritos como combinação linear dos vetores da base canônica são:
er = cos(theta) e1 + sin(theta) e2
etheta = -sin(theta) e1 + cos(theta) e2

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