Um carro de corrida parte do repouso e percorre uma pista circular horizontal de raio 91,4 m. Se a sua velocidade escalar aumenta a uma taxa constante de 2,1 m s^-2, determine o tempo necessário para alcançar uma aceleração de 2,5 m cdot s^-2. Qual é a sua velocidade escalar nesse instante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um carro de corrida que parte do repouso e percorre uma pista circular de raio 91,4 m. A velocidade dele está aumentando de forma constante, com uma taxa de 2,1 m/s²². A gente precisa descobrir quanto tempo ele leva pra atingir uma aceleração total de 2,5 m/s²² e qual será a velocidade dele nesse momento. Vamos utilizar conceitos de movimento circular e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a aceleração total do carro em uma trajetória circular é a soma da aceleração tangencial e da aceleração centrípeta. A aceleração tangencial ( at) está relacionada com a variação da velocidade, e a centrípeta ( ac) está relacionada à mudança na direção da velocidade.
A aceleração total ( atotal) pode ser calculada usando a seguinte relação:
atotal = raizat^2 + ac^2

Passo 3

Sabemos que a aceleração tangencial está aumentando a uma taxa constante de 2,1 m/s²², então at = 2,1 m/s²². Queremos que a aceleração total seja 2,5 m/s²², então podemos montar a equação:
2,5 = raiz(2,1)^2 + ac^2

Passo 4

Vamos resolver para ac:
2,5^2 = 2,1^2 + ac^2 6,25 = 4,41 + ac^2 ac^2 = 6,25 - 4,41 ac^2 = 1,84 ac = raiz1,84 ac approx 1,36 m/s² ²

Passo 5

A aceleração centrípeta também está relacionada com a velocidade tangencial ( v) e o raio da pista ( r):
ac = v^2r
Queremos encontrar a velocidade v no instante em que a aceleração total é 2,5 m/s²². Já encontramos que ac approx 1,36 m/s²² e r = 91,4 m. Vamos isolar v:
v = raizac cdot r v = raiz1,36 cdot 91,4 v = raiz124,0 v approx 11,14 m/s

Passo 6

Agora, vamos encontrar o tempo necessário para que a aceleração tangencial chegue a 2,1 m/s²². Sabemos que o carro parte do repouso, então a velocidade inicial v0 = 0. A aceleração tangencial é constante, então podemos usar a fórmula:
at = De
Precisamos encontrar o tempo t para alcançar a velocidade v = 11,14 m/s:
t = vat t = 11,142,1 t approx 5,3 s

Resposta

O tempo necessário para o carro alcançar uma aceleração total de 2,5 m/s²² é de aproximadamente 5,3 segundos, e a velocidade escalar nesse instante é de cerca de 11,14 m/s.

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