Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h=-t²+4t+6.
Determine:
a)o instante em que a bola atinge a sua alguma máxima.
b)a altura maxima atingida pela bola
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo
Determine:
a)o instante em que a bola atinge a sua alguma máxima.
b)a altura maxima atingida pela bola
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre o movimento de uma bola lançada no ar. A altura da bola em metros, após $ t $ segundos, é dada pela função $ h = -t² + 4t + 6 $. Vamos usar conhecimentos de funções quadráticas para encontrar:
a) O instante em que a bola atinge sua altura máxima.
b) A altura máxima atingida.
c) Quanto tempo a bola leva para tocar o solo.
a) O instante em que a bola atinge sua altura máxima.
b) A altura máxima atingida.
c) Quanto tempo a bola leva para tocar o solo.
Passo 2
Primeiro, para achar o instante em que a bola atinge a altura máxima, precisamos identificar o vértice da parábola representada pela função $ h(t) = -t² + 4t + 6 $. Como o coeficiente de $ t² $ é negativo, a parábola abre para baixo, e o vértice será o ponto de máximo.
Passo 3
A fórmula para encontrar o tempo $ t $ no vértice de uma parábola $ h(t) = at² + bt + c $ é $ t = -\frac{b}{2a} $. Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 4 $.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Então, a bola atinge a altura máxima aos 2 segundos após o lançamento.
Passo 5
Agora, para encontrar a altura máxima, vamos substituir $ t = 2 $ na função $ h(t) $:
Portanto, a altura máxima atingida pela bola é de 10 metros.
Passo 6
Para descobrir quando a bola toca o solo, precisamos encontrar o tempo $ t $ para o qual $ h = 0 $. Ou seja, resolver a equação:
Passo 7
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática $ at² + bt + c = 0 $:
Aqui, $ a = -1 $, $ b = 4 $ e $ c = 6 $.
Passo 8
Calculando o discriminante:
Como $ \Delta > 0 $, há duas soluções reais.
Passo 9
Agora, substituindo na fórmula:
Simplificando:
Como o tempo não pode ser negativo, consideramos:
Resposta
a) A bola atinge a altura máxima aos 2 segundos após o lançamento.
b) A altura máxima atingida pela bola é de 10 metros.
c) A bola toca o solo aproximadamente 5,16 segundos após o lançamento.