Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h=-t²+4t+6.
Determine:
a)o instante em que a bola atinge a sua alguma máxima.
b)a altura maxima atingida pela bola
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre o movimento de uma bola lançada no ar. A altura da bola em metros, após $ t $ segundos, é dada pela função $ h = -t² + 4t + 6 $. Vamos usar conhecimentos de funções quadráticas para encontrar:
a) O instante em que a bola atinge sua altura máxima.
b) A altura máxima atingida.
c) Quanto tempo a bola leva para tocar o solo.

Passo 2

Primeiro, para achar o instante em que a bola atinge a altura máxima, precisamos identificar o vértice da parábola representada pela função $ h(t) = -t² + 4t + 6 $. Como o coeficiente de $ t² $ é negativo, a parábola abre para baixo, e o vértice será o ponto de máximo.

Passo 3

A fórmula para encontrar o tempo $ t $ no vértice de uma parábola $ h(t) = at² + bt + c $ é $ t = -\frac{b}{2a} $. Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 4 $.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
t = -42 times (-1) = -4-2 = 2 segundos
Então, a bola atinge a altura máxima aos 2 segundos após o lançamento.

Passo 5

Agora, para encontrar a altura máxima, vamos substituir $ t = 2 $ na função $ h(t) $:
t = 2 ²
Portanto, a altura máxima atingida pela bola é de 10 metros.

Passo 6

Para descobrir quando a bola toca o solo, precisamos encontrar o tempo $ t $ para o qual $ h = 0 $. Ou seja, resolver a equação:
t ²

Passo 7

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática $ at² + bt + c = 0 $:
at² + bt + c = 0 ²
Aqui, $ a = -1 $, $ b = 4 $ e $ c = 6 $.

Passo 8

Calculando o discriminante:
De²²
Como $ \Delta > 0 $, há duas soluções reais.

Passo 9

Agora, substituindo na fórmula:
t = -4 pm raiz402 times (-1) = -4 pm 2raiz10-2
Simplificando:
t = -4-2 pm 2raiz10-2 = 2 mp raiz10
Como o tempo não pode ser negativo, consideramos:
t = 2 + raiz10 approx 2 + 3,16 = 5,16 segundos

Resposta

a) A bola atinge a altura máxima aos 2 segundos após o lançamento.
b) A altura máxima atingida pela bola é de 10 metros.
c) A bola toca o solo aproximadamente 5,16 segundos após o lançamento.

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