Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(3,-1,4), v=(2,0,1) e w=(-2,1,5).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente determinar o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Espacial e operações com Vetores, como o Produto Vetorial e o Produto Escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o volume do paralelepípedo pode ser calculado usando o Produto Escalar Triplo dos três vetores. A fórmula para o volume
é:
Isso significa que a gente primeiro faz o Produto Vetorial entre
e
, e depois faz o Produto Escalar desse resultado com
. O valor absoluto garante que o volume seja sempre positivo.
Passo 3
Vamos calcular o Produto Vetorial
. A fórmula para o produto vetorial de
e
é:
Aplicando os valores dos vetores
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o Produto Escalar entre
e
. A fórmula para o produto escalar de
e
é:
Aplicando os valores:
Passo 5
Finalmente, o volume
do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto escalar:
Resposta
O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
,
e
é 17 unidades cúbicas.