Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(3,-1,4), v=(2,0,1) e w=(-2,1,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente determinar o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores u = (3, -1, 4), v = (2, 0, 1) e w = (-2, 1, 5). Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Espacial e operações com Vetores, como o Produto Vetorial e o Produto Escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o volume do paralelepípedo pode ser calculado usando o Produto Escalar Triplo dos três vetores. A fórmula para o volume V é:
V = |u cdot (v times w)|
Isso significa que a gente primeiro faz o Produto Vetorial entre v e w, e depois faz o Produto Escalar desse resultado com u. O valor absoluto garante que o volume seja sempre positivo.

Passo 3

Vamos calcular o Produto Vetorial v times w. A fórmula para o produto vetorial de v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) é:
v times w = ( v2w3 - v3w2, v3w1 - v1w3, v1w2 - v2w1 )
Aplicando os valores dos vetores v = (2, 0, 1) e w = (-2, 1, 5):
v times w = ( 0 times 5 - 1 times 1, 1 times (-2) - 2 times 5, 2 times 1 - 0 times (-2) )
v times w = (0 - 1, -2 - 10, 2 - 0) = (-1, -12, 2)

Passo 4

Agora, vamos calcular o Produto Escalar entre u = (3, -1, 4) e v times w = (-1, -12, 2). A fórmula para o produto escalar de a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando os valores:
u cdot (v times w) = 3 times (-1) + (-1) times (-12) + 4 times 2
= -3 + 12 + 8 = 17

Passo 5

Finalmente, o volume V do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto escalar:
V = |17| = 17

Resposta

O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w é 17 unidades cúbicas.

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