É dada uma tacada em uma bola de golfe na beirada de um barranco. Suas coordenadas
e
como funções do tempo são dadas pelas seguintes expressões:
(a) Obtenha uma expressão vetorial para a posição da bola como função do tempo, usando os vetores unitários î e j. Fazendo as derivadas, obtenha espressões para (b) o vetor velocidade v como função do tempo e © o vetor aceleração como função do tempo. Utilize em seguida a notação de vetor unitário para obter expressõos para (d) a posição, (e) a velocidade, e (f) a aceleração da bola de golfe, todos em
.
(a) Obtenha uma expressão vetorial para a posição da bola como função do tempo, usando os vetores unitários î e j. Fazendo as derivadas, obtenha espressões para (b) o vetor velocidade v como função do tempo e © o vetor aceleração como função do tempo. Utilize em seguida a notação de vetor unitário para obter expressõos para (d) a posição, (e) a velocidade, e (f) a aceleração da bola de golfe, todos em
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma bola de golfe que foi tacada na beirada de um barranco. As posições da bola nos eixos
e
em função do tempo
são dadas por:
Estamos trabalhando com movimento vetorial, utilizando vetores unitários
e
para representar as direções nos eixos
e
, respectivamente. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas para encontrar velocidade e aceleração.
Passo 2
(a) Expressão vetorial para a posição da bola como função do tempo
Primeiro, vamos construir o vetor posição
usando as funções de posição
e
. Isso é feito combinando as componentes nos eixos
e
com os vetores unitários
e
:
Substituindo as expressões dadas:
Passo 3
(b) Vetor velocidade
como função do tempo
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente:
Para
:
Para
:
Então, o vetor velocidade fica:
Passo 4
© Vetor aceleração
como função do tempo
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Portanto, o vetor aceleração é:
Passo 5
(d) Posição da bola em
Vamos substituir
na expressão da posição
:
Calculando cada componente:
Para
:
Para
:
Então:
(e) Velocidade da bola em
Substituindo
na expressão da velocidade
:
Calculando:
Então:
(f) Aceleração da bola em
A aceleração
é constante, como vimos no Passo 4:
Resposta
Em
, as expressões são: