É dada uma tacada em uma bola de golfe na beirada de um barranco. Suas coordenadas e como funções do tempo são dadas pelas seguintes expressões:
(a) Obtenha uma expressão vetorial para a posição da bola como função do tempo, usando os vetores unitários î e j. Fazendo as derivadas, obtenha espressões para (b) o vetor velocidade v como função do tempo e © o vetor aceleração como função do tempo. Utilize em seguida a notação de vetor unitário para obter expressõos para (d) a posição, (e) a velocidade, e (f) a aceleração da bola de golfe, todos em .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma bola de golfe que foi tacada na beirada de um barranco. As posições da bola nos eixos e em função do tempo são dadas por:
Estamos trabalhando com movimento vetorial, utilizando vetores unitários e para representar as direções nos eixos e , respectivamente. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas para encontrar velocidade e aceleração.

Passo 2

(a) Expressão vetorial para a posição da bola como função do tempo
Primeiro, vamos construir o vetor posição usando as funções de posição e . Isso é feito combinando as componentes nos eixos e com os vetores unitários e :
Substituindo as expressões dadas:

Passo 3

(b) Vetor velocidade como função do tempo
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente:
Para :
Para :
Então, o vetor velocidade fica:

Passo 4

© Vetor aceleração como função do tempo
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente:
Para a componente :
Para a componente :
Portanto, o vetor aceleração é:

Passo 5

(d) Posição da bola em
Vamos substituir na expressão da posição :
Calculando cada componente:
Para :
Para :
Então:
(e) Velocidade da bola em
Substituindo na expressão da velocidade :
Calculando:
Então:
(f) Aceleração da bola em
A aceleração é constante, como vimos no Passo 4:

Resposta

Em , as expressões são:

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