É dada uma tacada em uma bola de golfe na beirada de um barranco. Suas coordenadas x e y como funções do tempo são dadas pelas seguintes expressões: x=(18,0 m / s) t y=(4,00 m / s) t-(4,90 m / s 2) t^2
(a) Obtenha uma expressão vetorial para a posição da bola como função do tempo, usando os vetores unitários î e j. Fazendo as derivadas, obtenha espressões para (b) o vetor velocidade v como função do tempo e © o vetor aceleração como função do tempo. Utilize em seguida a notação de vetor unitário para obter expressõos para (d) a posição, (e) a velocidade, e (f) a aceleração da bola de golfe, todos em t=3,00 s.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma bola de golfe que foi tacada na beirada de um barranco. As posições da bola nos eixos x e y em função do tempo t são dadas por:
x(t) = (18,0, m/s) cdot t
y(t) = (4,00, m/s) cdot t - (4,90, m/s^2) cdot t^2
Estamos trabalhando com movimento vetorial, utilizando vetores unitários i e j para representar as direções nos eixos x e y, respectivamente. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas para encontrar velocidade e aceleração.

Passo 2

(a) Expressão vetorial para a posição da bola como função do tempo
Primeiro, vamos construir o vetor posição r(t) usando as funções de posição x(t) e y(t). Isso é feito combinando as componentes nos eixos x e y com os vetores unitários i e j:
r(t) = x(t) cdot i + y(t) cdot j
Substituindo as expressões dadas:
r(t) = (18,0, m/s cdot t) cdot i + (4,00, m/s cdot t - 4,90, m/s^2 cdot t^2) cdot j

Passo 3

(b) Vetor velocidade v(t) como função do tempo
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt = dx(t)dt cdot i + dy(t)dt cdot j
Vamos derivar cada componente:
Para x(t):
dx(t)dt = ddt(18,0, t) = 18,0, m/s
Para y(t):
dy(t)dt = ddt(4,00, t - 4,90, t^2) = 4,00, m/s - 9,80, m/s^2 cdot t
Então, o vetor velocidade fica:
v(t) = 18,0, i + (4,00 - 9,80, t) j , m/s

Passo 4

© Vetor aceleração a(t) como função do tempo
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt = ddt(18,0, i + (4,00 - 9,80, t) j)
Derivando cada componente:
Para a componente x:
ddt(18,0) = 0 , m/s^2
Para a componente y:
ddt(4,00 - 9,80, t) = -9,80, m/s^2
Portanto, o vetor aceleração é:
a(t) = 0, i - 9,80, j , m/s^2

Passo 5

(d) Posição da bola em t = 3,00, s
Vamos substituir t = 3,00, s na expressão da posição r(t):
r(3,00) = (18,0 cdot 3,00), i + (4,00 cdot 3,00 - 4,90 cdot (3,00)^2) j
Calculando cada componente:
Para x:
18,0 cdot 3,00 = 54,0, m
Para y:
4,00 cdot 3,00 = 12,0, m
4,90 cdot (3,00)^2 = 4,90 cdot 9,00 = 44,10, m
12,0 - 44,10 = -32,10, m
Então:
r(3,00) = 54,0, i - 32,10, j , m
(e) Velocidade da bola em t = 3,00, s
Substituindo t = 3,00, s na expressão da velocidade v(t):
v(3,00) = 18,0, i + (4,00 - 9,80 cdot 3,00), j
Calculando:
9,80 cdot 3,00 = 29,40, m/s^2
4,00 - 29,40 = -25,40, m/s
Então:
v(3,00) = 18,0, i - 25,40, j , m/s
(f) Aceleração da bola em t = 3,00, s
A aceleração a(t) é constante, como vimos no Passo 4:
a(3,00) = 0, i - 9,80, j , m/s^2

Resposta

Em t = 3,00, s, as expressões são:
r(3,00) = 54,0, i - 32,10, j , m
v(3,00) = 18,0, i - 25,40, j , m/s
a(3,00) = 0, i - 9,80, j , m/s^2

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