Um rastreador de radar em O gira com velocidade angular de dottheta=0,1 rad / s e aceleração angular de ddottheta=0,025 rad / s^2, no instante theta=45^circ, enquanto acompanha o movimento do carro que trafega ao longo da pista circular com raio r=200 m. Determine as intensidades de velocidade e aceleração do carro nesse instante.
Resposta: v=20 m / s ; a=5,39 m / s^2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um rastreador de radar que está girando e acompanhando um carro que trafega em uma pista circular. Queremos determinar as intensidades da velocidade e da aceleração do carro nesse instante específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, que nos ajudam a relacionar a velocidade angular e a aceleração angular com a velocidade linear e a aceleração linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade linear do carro. A velocidade linear ( v) está relacionada à velocidade angular ( dottheta) pela fórmula:
v = r cdot dottheta
onde:
  • v é a velocidade linear,
  • r é o raio da pista circular,
  • dottheta é a velocidade angular.

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
  • r = 200 , m
  • dottheta = 0,1 , rad/s
v = 200 , m times 0,1 , rad/s = 20 , m/s
Então, a velocidade linear do carro é de 20 m/s.

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração linear do carro. A aceleração no movimento circular possui duas componentes:
  1. Aceleração centrípeta ( ac): direcionada para o centro da trajetória.
  2. Aceleração tangencial ( at): relacionada à variação da velocidade angular.
A fórmula para a aceleração total ( a) é:
a = raizac^2 + at^2
onde:
  • ac = r cdot dottheta^2
  • at = r cdot ddottheta

Passo 5

Vamos calcular cada componente separadamente.
Primeiro, a aceleração centrípeta:
ac = r cdot dottheta^2 = 200 , m times (0,1 , rad/s)^2 = 200 times 0,01 = 2 , m/s^2
Em seguida, a aceleração tangencial:
at = r cdot ddottheta = 200 , m times 0,025 , rad/s^2 = 5 , m/s^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração total usando a fórmula mencionada:
a = raizac^2 + at^2 = raiz2^2 + 5^2 = raiz4 + 25 = raiz29 approx 5,39 , m/s^2

Resposta

v = 20 , m/s ; a = 5,39 , m/s^2

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