Uma bola está parada sobre o gramado de um campo de futebol na posição A. Um jogador chuta a bola para cima, com vetor velocidade inicial vo de módulo 15 m / s e que faz um ângulo de 45^circ com a horizontal. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade g=10 m / s^2.
A que distância do ponto A, deve estar um outro jogador para que ele consiga matar a bola no peito (ponto B), quando ela estiver na descendente? Suponha que a altura que a bola irá bater no seu peito será de 1,50 m em relação ao solo.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos uma bola parada no gramado de um campo de futebol (ponto A) que é chutada para cima com uma velocidade inicial de 15 m/s formando um ângulo de 45^circ com a horizontal. Queremos descobrir a que distância do ponto A (ponto B) outro jogador deve estar para conseguir “matar” a bola no peito quando ela estiver descendo e a uma altura de 1,50 m do solo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetado na física, que envolve decompor a velocidade em componentes horizontal e vertical e usar as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal ( vx) e vertical ( vy). Como o ângulo é de 45^circ, as componentes são iguais:
vx = vo cdot cos(45^circ) = 15 cdot raiz22 approx 10,61 m/s
vy = vo cdot sin(45^circ) = 15 cdot raiz22 approx 10,61 m/s

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo que a bola leva para atingir a altura de 1,50 m durante a descida. Usamos a equaç��o da posição vertical:
y = vy cdot t - 12 g t^2
Substituindo y = 1,50 m, vy approx 10,61 m/s e g = 10 m/s^2:
1,50 = 10,61 t - 5 t^2
Rearranjando a equação:
5 t^2 - 10,61 t + 1,50 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo t. Usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 5, b = -10,61, e c = 1,50:
t = 10,61 pm raiz(10,61)^2 - 4 cdot 5 cdot 1,502 cdot 5
t = 10,61 pm raiz112,56 - 3010
t = 10,61 pm raiz82,5610
t = 10,61 pm 9,0810
Obtemos dois valores para t:
t1 = 10,61 + 9,0810 = 1,97 s
t2 = 10,61 - 9,0810 = 0,15 s
Como estamos interessados no tempo durante a descida, consideramos t = 1,97 s.

Passo 5

Agora que temos o tempo, vamos calcular a distância horizontal ( x) que a bola percorreu nesse tempo. Usamos a fórmula:
x = vx cdot t
Substituindo vx approx 10,61 m/s e t = 1,97 s:
x = 10,61 cdot 1,97 approx 20,89 m

Resposta

O outro jogador deve estar a aproximadamente 20,89 metros do ponto A para conseguir matar a bola no peito quando ela estiver descendo a uma altura de 1,50 m.

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