Uma prancha de comprimento igual a 1(m) e seção transversal uniforme é articulada em uma extremidade no fundo de uma piscina. A piscina está cheia de água até uma altura de 50(cm). A densidade relativa da prancha em relação à água é 0,5. Determine o ângulo

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma prancha de 1 metro de comprimento, com seção transversal uniforme, que está articulada no fundo de uma piscina. A piscina está cheia de água até 50 centímetros de altura. A densidade relativa da prancha em relação à água é 0,5. Queremos descobrir qual é o ângulo que a prancha forma com a vertical quando está em equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equilíbrio de torques, centro de massa e centro de empuxo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para a prancha estar em equilíbrio, o torque causado pelo peso da prancha deve ser equilibrado pelo torque causado pela força de empuxo da água. Torque é basicamente uma força que faz algo girar em torno de um ponto. Nesse caso, o ponto de apoio é onde a prancha está articulada no fundo da piscina.

Passo 3

Vamos encontrar onde está o centro de massa da prancha. Como a prancha tem seção transversal uniforme e é de comprimento 1 metro, o centro de massa está no meio dela, ou seja, a 0,5 metros da articulação. O peso da prancha atua nesse ponto.

Passo 4

Agora, precisamos determinar onde está o centro de empuxo, que é onde a força de empuxo (a força que a água exerce para empurrar a prancha para cima) age. O empuxo atua no centro de massa do volume de água deslocado pela prancha. Como a densidade relativa da prancha é 0,5, isso significa que metade do volume da prancha está submersa.

Passo 5

Vamos chamar o ângulo que a prancha faz com a vertical de . O torque devido ao peso da prancha é o peso multiplicado pela distância perpendicular ao ponto de apoio, que é . O torque devido ao empuxo é a força de empuxo multiplicada pela distância perpendicular, que é á.

Passo 6

Para equilibrar os torques, eles devem ser iguais:
0,5 times cos(theta) = 0,5 times sin(theta)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 0,5:
cos(theta) = sin(theta)
Isso implica que:
tan(theta) = 1

Passo 7

Resolvendo para theta = arctan(1) = 45^circ :

Resposta

O ângulo que a prancha forma com a vertical quando está em equilíbrio é de 45 graus.

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