Uma prancha de comprimento igual a e seção transversal uniforme é articulada em uma extremidade no fundo de uma piscina. A piscina está cheia de água até uma altura de . A densidade relativa da prancha em relação à água é 0,5. Determine o ângulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma prancha de 1 metro de comprimento, com seção transversal uniforme, que está articulada no fundo de uma piscina. A piscina está cheia de água até 50 centímetros de altura. A densidade relativa da prancha em relação à água é 0,5. Queremos descobrir qual é o ângulo que a prancha forma com a vertical quando está em equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equilíbrio de torques, centro de massa e centro de empuxo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para a prancha estar em equilíbrio, o torque causado pelo peso da prancha deve ser equilibrado pelo torque causado pela força de empuxo da água. Torque é basicamente uma força que faz algo girar em torno de um ponto. Nesse caso, o ponto de apoio é onde a prancha está articulada no fundo da piscina.
Passo 3
Vamos encontrar onde está o centro de massa da prancha. Como a prancha tem seção transversal uniforme e é de comprimento 1 metro, o centro de massa está no meio dela, ou seja, a 0,5 metros da articulação. O peso da prancha atua nesse ponto.
Passo 4
Agora, precisamos determinar onde está o centro de empuxo, que é onde a força de empuxo (a força que a água exerce para empurrar a prancha para cima) age. O empuxo atua no centro de massa do volume de água deslocado pela prancha. Como a densidade relativa da prancha é 0,5, isso significa que metade do volume da prancha está submersa.
Passo 5
Vamos chamar o ângulo que a prancha faz com a vertical de . O torque devido ao peso da prancha é o peso multiplicado pela distância perpendicular ao ponto de apoio, que é . O torque devido ao empuxo é a força de empuxo multiplicada pela distância perpendicular, que é .
Passo 6
Para equilibrar os torques, eles devem ser iguais:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 0,5:
Isso implica que:
Passo 7
Resolvendo para :
Resposta
O ângulo que a prancha forma com a vertical quando está em equilíbrio é de 45 graus.