Uma bola sólida rola suavemente a partir do repouso (começando na altura H=6,0 m) até deixar a parte horizontal do fim da pista, a uma altura de 2,00 m. Qual a velocidade que a bola atinge o piso? (P.S: momento de inércia para uma esfera maciça I=2 / 5 MR^2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: uma bola sólida começa a rolar do repouso a partir de uma altura de H = 6,0 , m e desce até uma altura de 2,00 , m. Queremos descobrir qual é a velocidade da bola quando ela atinge o piso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética (tanto de translação quanto de rotação). Precisaremos também da fórmula do momento de inércia para uma esfera sólida, que é I = 25MR^2.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença de altura que a bola percorre durante a descida. A altura inicial é 6,0 , m e a altura final é 2,00 , m, então a variação de altura ( De) é:
De

Passo 3

A energia potencial gravitacional perdida pela bola ao descer essa altura é convertida em energia cinética. A energia potencial gravitacional ( U) é dada por:
U = mgh
onde:
  • m é a massa da bola,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s^2),
  • h é a altura.

Passo 4

A energia cinética total ( Ecinéticaé) da bola quando ela atinge o piso é a soma da energia cinética de translação ( Etrans) e da energia cinética de rotação ( Erot):
Ecinética = Etrans + Erot é
A energia cinética de translação é:
Etrans = 12mv^2
A energia cinética de rotação é:
Erot = 12Iomega^2
Como a bola rola sem deslizar, a velocidade linear ( v) e a velocidade angular ( omega) estão relacionadas por:
v = omega R

Passo 5

Substituindo I = 25MR^2 na equação de Erot e usando v = omega R, temos:
Erot = 12 cdot 25MR^2 cdot (vR)^2 = 15mv^2
Então, a energia cinética total fica:
Ecinética = 12mv^2 + 15mv^2 = 710mv^2 é

Passo 6

Aplicando o princípio da conservação da energia, a energia potencial perdida é igual à energia cinética adquirida:
mgh = 710mv^2
Podemos cancelar a massa ( m) dos dois lados:
gh = 710v^2

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
g = 9,81 , m/s^2 h = 4,00 , m
Então:
9,81 times 4,00 = 710v^2 39,24 = 710v^2

Passo 8

Resolvendo para v:
v^2 = 39,24 times 107 v^2 = 56,057 v = raiz56,057 v approx 7,49 , m/s

Resposta

A velocidade que a bola atinge o piso é aproximadamente 7,49 , m/s.

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