Uma bola sólida rola suavemente a partir do repouso (começando na altura
) até deixar a parte horizontal do fim da pista, a uma altura de 2,00 m. Qual a velocidade que a bola atinge o piso? (P.S: momento de inércia para uma esfera maciça
).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: uma bola sólida começa a rolar do repouso a partir de uma altura de
e desce até uma altura de
. Queremos descobrir qual é a velocidade da bola quando ela atinge o piso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética (tanto de translação quanto de rotação). Precisaremos também da fórmula do momento de inércia para uma esfera sólida, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a diferença de altura que a bola percorre durante a descida. A altura inicial é
e a altura final é
, então a variação de altura (
) é:
Passo 3
A energia potencial gravitacional perdida pela bola ao descer essa altura é convertida em energia cinética. A energia potencial gravitacional (
) é dada por:
onde:
-
é a massa da bola, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
Passo 4
A energia cinética total (
) da bola quando ela atinge o piso é a soma da energia cinética de translação (
) e da energia cinética de rotação (
):
A energia cinética de translação é:
A energia cinética de rotação é:
Como a bola rola sem deslizar, a velocidade linear (
) e a velocidade angular (
) estão relacionadas por:
Passo 5
Substituindo
na equação de
e usando
, temos:
Então, a energia cinética total fica:
Passo 6
Aplicando o princípio da conservação da energia, a energia potencial perdida é igual à energia cinética adquirida:
Podemos cancelar a massa (
) dos dois lados:
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos:
Então:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade que a bola atinge o piso é aproximadamente
.