Uma bola sólida rola suavemente a partir do repouso (começando na altura ) até deixar a parte horizontal do fim da pista, a uma altura de 2,00 m. Qual a velocidade que a bola atinge o piso? (P.S: momento de inércia para uma esfera maciça ).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: uma bola sólida começa a rolar do repouso a partir de uma altura de e desce até uma altura de . Queremos descobrir qual é a velocidade da bola quando ela atinge o piso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética (tanto de translação quanto de rotação). Precisaremos também da fórmula do momento de inércia para uma esfera sólida, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença de altura que a bola percorre durante a descida. A altura inicial é e a altura final é , então a variação de altura ( ) é:

Passo 3

A energia potencial gravitacional perdida pela bola ao descer essa altura é convertida em energia cinética. A energia potencial gravitacional ( ) é dada por:
onde:
  • é a massa da bola,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.

Passo 4

A energia cinética total ( é) da bola quando ela atinge o piso é a soma da energia cinética de translação ( ) e da energia cinética de rotação ( ):
é
A energia cinética de translação é:
A energia cinética de rotação é:
Como a bola rola sem deslizar, a velocidade linear ( ) e a velocidade angular ( ) estão relacionadas por:

Passo 5

Substituindo na equação de e usando , temos:
Então, a energia cinética total fica:
é

Passo 6

Aplicando o princípio da conservação da energia, a energia potencial perdida é igual à energia cinética adquirida:
Podemos cancelar a massa ( ) dos dois lados:

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
Então:

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

A velocidade que a bola atinge o piso é aproximadamente .

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