Desejamos calcular a inércia rotacional de um disco de massa M e raio R em torno de um eixo que passa através de seu centro, perpendicular à superfície. Considere um elemento de massa DM na forma de um anel de raio r e largura dr (veja figura abaixo). (a) Qual é o momento de inércia do disco como um todo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta quer que a gente calcule o momento de inércia de um disco todo, que tem massa M e raio R, girando em torno de um eixo que passa pelo centro dele e é perpendicular à sua superfície. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre momento de inércia e integração, já que vamos dividir o disco em anéis fininhos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Básicamente, ele mede como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais a massa está longe do eixo, maior é o momento de inércia.

Passo 3

Como o disco é simétrico, podemos dividir ele em pequenos anéis circulares. Cada anel tem um raio r e uma largura dr. A ideia é calcular o momento de inércia de cada anel e depois somar todos esses momentos para obter o momento de inércia total do disco.

Passo 4

Para um anel de raio r e massa DM, o momento de inércia dI é dado por:
dI = r^2 cdot DM
Isso porque todo o anel está a uma distância r do eixo.

Passo 5

Agora, precisamos expressar DM em termos de r. Sabemos que a densidade de massa superficial σ é a massa por unidade de área. Para um anel:
DM = sigma cdot dA
A área dA de um anel é a circunferência dele multiplicada pela largura dr:
dA = 2pi r cdot dr

Passo 6

Então, substituindo:
DM = sigma cdot 2pi r cdot dr
E sabemos que a densidade de massa superficial σ é:
sigma = Mpi R^2

Passo 7

Substituindo σ na expressão de DM:
DM = Mpi R^2 cdot 2pi r cdot dr = 2MR^2 cdot r cdot dr

Passo 8

Agora, substituímos DM na expressão do momento de inércia dI:
dI = r^2 cdot 2MR^2 cdot r cdot dr = 2MR^2 cdot r^3 cdot dr

Passo 9

Para encontrar o momento de inércia total I, integramos dI de r = 0 até r = R:
I = integral0^R 2MR^2 cdot r^3 cdot dr

Passo 10

Resolvendo a integral:
I = 2MR^2 cdot [ r^44 ]0^R = 2MR^2 cdot R^44 = 2M R^24 = 12 M R^2

Resposta

O momento de inércia do disco todo é:
I = 12 M R^2

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