Desejamos calcular a inércia rotacional de um disco de massa M e raio R em torno de um eixo que passa através de seu centro, perpendicular à superfície. Considere um elemento de massa DM na forma de um anel de raio r e largura dr (veja figura abaixo). (a) Qual é o momento de inércia do disco como um todo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta quer que a gente calcule o momento de inércia de um disco todo, que tem massa M e raio R, girando em torno de um eixo que passa pelo centro dele e é perpendicular à sua superfície. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre momento de inércia e integração, já que vamos dividir o disco em anéis fininhos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Básicamente, ele mede como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais a massa está longe do eixo, maior é o momento de inércia.
Passo 3
Como o disco é simétrico, podemos dividir ele em pequenos anéis circulares. Cada anel tem um raio r e uma largura dr. A ideia é calcular o momento de inércia de cada anel e depois somar todos esses momentos para obter o momento de inércia total do disco.
Passo 4
Para um anel de raio r e massa DM, o momento de inércia dI é dado por:
Isso porque todo o anel está a uma distância r do eixo.
Passo 5
Agora, precisamos expressar DM em termos de r. Sabemos que a densidade de massa superficial σ é a massa por unidade de área. Para um anel:
A área dA de um anel é a circunferência dele multiplicada pela largura dr:
Passo 6
Então, substituindo:
E sabemos que a densidade de massa superficial σ é:
Passo 7
Substituindo σ na expressão de DM:
Passo 8
Agora, substituímos DM na expressão do momento de inércia dI:
Passo 9
Para encontrar o momento de inércia total I, integramos dI de r = 0 até r = R:
Passo 10
Resolvendo a integral:
Resposta
O momento de inércia do disco todo é:
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