Uma bola é solta da altura h=3 m e ao colidir com o chão dissipa 40 % de sua energia mecânica. Despreze a resistência do ar e calcule: (a) o coeficiente de restituição. (b) a altura máxima que a bola atingirá após colidir com o chão.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola que é solta de uma altura de h = 3,m. Quando ela bate no chão, ela perde 40% de sua energia mecânica. Precisamos calcular:
(a) O coeficiente de restituição.
(b) A altura máxima que a bola alcança após a colisão.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de energia mecânica, conservação de energia e coeficiente de restituição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial inicial da bola quando ela é solta da altura de 3,m. A energia potencial ( Ep) é dada pela fórmula:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
  • m é a massa da bola,
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,8,m/s^2),
  • h é a altura ( 3,m).
Como não foi dada a massa da bola, vamos ver que ela se cancelará nas próximas etapas.

Passo 3

Quando a bola cai e atinge o chão, toda a energia potencial se converte em energia cinética ( Ec):
Ec = 12 m v^2
Igualando as duas energias:
m cdot g cdot h = 12 m v^2
Podemos cancelar m dos dois lados:
g cdot h = 12 v^2
Resolvendo para v:
v = raiz2 g h

Passo 4

Agora, vamos considerar a colisão com o chão. A bola perde 40% de sua energia mecânica, então ela retém 60% da energia.
A energia após a colisão ( E'c) é:
E'c = 0,6 cdot Ec = 0,6 cdot 12 m v^2
Substituindo v da etapa anterior:
E'c = 0,6 cdot 12 m (2 g h) = 0,6 cdot m g h

Passo 5

O coeficiente de restituição ( e) é definido como a razão das velocidades após e antes da colisão:
e = v'v
A energia após a colisão está relacionada ao quadrado da velocidade:
E'c = 12 m (v')^2 = 0,6 cdot m g h
Cancelando m e rearranjando:
(v')^2 = 1,2 g h v' = raiz1,2 g h
Portanto:
e = raiz1,2 g hraiz2 g h = raiz1,22 = raiz0,6 approx 0,775

Passo 6

Agora, para encontrar a altura máxima que a bola atinge após a colisão, usamos a energia cinética após a colisão convertida de volta em energia potencial:
E'c = m g h'
Sabemos que:
E'c = 0,6 cdot m g h
Então:
0,6 cdot m g h = m g h' h' = 0,6 h = 0,6 cdot 3,m = 1,8,m

Resposta

(a) O coeficiente de restituição é aproximadamente 0,775.
(b) A altura máxima atingida pela bola após a colisão é 1,8,m.

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