Uma bola é solta da altura
e ao colidir com o chão dissipa
de sua energia mecânica. Despreze a resistência do ar e calcule: (a) o coeficiente de restituição. (b) a altura máxima que a bola atingirá após colidir com o chão.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola que é solta de uma altura de
. Quando ela bate no chão, ela perde
de sua energia mecânica. Precisamos calcular:
(a) O coeficiente de restituição.
(b) A altura máxima que a bola alcança após a colisão.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de energia mecânica, conservação de energia e coeficiente de restituição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia potencial inicial da bola quando ela é solta da altura de
. A energia potencial (
) é dada pela fórmula:
onde:
-
é a massa da bola, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura ( ).
Como não foi dada a massa da bola, vamos ver que ela se cancelará nas próximas etapas.
Passo 3
Quando a bola cai e atinge o chão, toda a energia potencial se converte em energia cinética (
):
Igualando as duas energias:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos considerar a colisão com o chão. A bola perde
de sua energia mecânica, então ela retém
da energia.
A energia após a colisão (
) é:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 5
O coeficiente de restituição (
) é definido como a razão das velocidades após e antes da colisão:
A energia após a colisão está relacionada ao quadrado da velocidade:
Cancelando
e rearranjando:
Portanto:
Passo 6
Agora, para encontrar a altura máxima que a bola atinge após a colisão, usamos a energia cinética após a colisão convertida de volta em energia potencial:
Sabemos que:
Então:
Resposta
(a) O coeficiente de restituição é aproximadamente
.
(b) A altura máxima atingida pela bola após a colisão é
.