Duas esferas de massas m1=10 kg e m2=4 kg se deslocam em sentidos contrários sobre a mesma reta. As esferas estão animadas, inicialmente, com módulos de velocidades iguais a v1,0=5 m / s e v2,0=9 m / s, até o momento que colidem inelásticamente. Sabendo que o coeficiente de restituição da colisão é e =0,5, calcule as velocidades das esferas após a colisão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas esferas, uma com massa de 10 kg e outra de 4 kg. Elas estão se movendo em direções opostas na mesma reta, com velocidades iniciais de 5 m/s e 9 m/s, respectivamente. Quando elas colidem, a colisão não é perfeitamente elástica, e o coeficiente de restituição é e = 0,5. Nosso objetivo aqui é descobrir quais serão as velocidades das esferas após essa colisão.
Para resolver isso, vamos precisar usar dois conceitos principais da física de colisões:
  1. Conservação da quantidade de movimento.
  2. Coeficiente de restituição.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a conservação da quantidade de movimento. Isso significa que a quantidade total de movimento das esferas antes da colisão é igual à quantidade total de movimento após a colisão.
A quantidade de movimento ( p) é calculada multiplicando a massa ( m) pela velocidade ( v) de cada objeto:
p = m times v
Então, para ambas as esferas antes da colisão:
  • Quantidade de movimento da esfera 1: p1 = m1 times v1,0 = 10 times 5 = 50 kg cdot m/s
  • Quantidade de movimento da esfera 2: p2 = m2 times v2,0 = 4 times (-9) = -36 kg cdot m/s
Nota: Colocamos a velocidade da segunda esfera como negativa porque ela está se movendo na direção oposta.
A quantidade de movimento total antes da colisão é então:
ptotal , antes = p1 + p2 = 50 + (-36) = 14 kg cdot m/s

Passo 3

Agora, vamos considerar o coeficiente de restituição ( e), que nos ajuda a relacionar as velocidades antes e após a colisão. O coeficiente de restituição é definido pela seguinte fórmula:
e = v2' - v1'v1 - v2
Onde:
  • v1' é a velocidade da esfera 1 após a colisão.
  • v2' é a velocidade da esfera 2 após a colisão.
  • v1 e v2 são as velocidades antes da colisão (usamos as velocidades iniciais).
Substituindo os valores que temos:
0,5 = v2' - v1'5 - (-9) 0,5 = v2' - v1'14
Multiplicando ambos os lados por 14 para simplificar:
v2' - v1' = 7

Passo 4

Agora, temos duas equações:
  1. Conservação da quantidade de movimento:
    10v1' + 4v2' = 14
  2. Coeficiente de restituição:
    v2' - v1' = 7
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar v1' e v2'.
Primeiro, da segunda equação, podemos expressar v2' em termos de v1':
v2' = v1' + 7
Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:
10v1' + 4(v1' + 7) = 14 10v1' + 4v1' + 28 = 14 14v1' = 14 - 28 14v1' = -14 v1' = -1 m/s
Agora, substituímos v1' = -1 m/s na segunda equação para encontrar v2':
v2' = -1 + 7 = 6 m/s

Resposta

Após a colisão, a esfera de 10 kg tem uma velocidade de -1 m/s (isto é, na direção oposta à inicial), e a esfera de 4 kg passa a se mover a 6 m/s na mesma direção da velocidade inicial da esfera de 10 kg.

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