Uma bola é sorteada de uma urna que contém 3 bolas brancas e 3 bolas pretas. Após o seu sorteio, ela é recolocada na urna e então outra bola é sorteada. Esse processo segue indefinidamente. Qual é a probabilidade de que, das primeiras 4 bolas sorteadas, exatamente 2 sejam brancas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 3 bolas brancas e 3 bolas pretas. A gente vai sortear uma bola, colocar de volta na urna, e repetir esse processo várias vezes. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de, nas primeiras 4 bolas sorteadas, exatamente 2 serem brancas. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a probabilidade de tirar uma bola branca em um sorteio. Como tem 3 bolas brancas e 3 pretas, o total é 6 bolas. Então, a probabilidade de tirar uma branca é de e a de preta também é 0,5.

Passo 3

Como estamos colocando a bola de volta na urna após cada sorteio, cada sorteio é independente. Isso significa que a probabilidade de tirar uma branca ou preta não muda de um sorteio para o outro.

Passo 4

Agora, queremos exatamente 2 bolas brancas em 4 sorteios. Isso é um caso de distribuição binomial, onde calculamos a probabilidade de ter exatamente sucessos (no nosso caso, bolas brancas) em tentativas (sorteios), sendo a probabilidade de sucesso em cada tentativa .
A fórmula da distribuição binomial é:

Passo 5

Vamos identificar os valores:
  • (número de sorteios)
  • (número de bolas brancas desejadas)
  • (probabilidade de tirar uma branca em cada sorteio)

Passo 6

Primeiro, calculamos o coeficiente binomial , que representa o número de maneiras de escolher 2 sorteios que serão brancas entre os 4:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da distribuição binomial:

Resposta

A probabilidade de, nas primeiras 4 bolas sorteadas, exatamente 2 serem brancas é de ou 37,5%.

Exercícios relacionados

Obtenha as seguintes probabilidades manualmente e pelo R.
Seja . Determine
(b) em que .
Uma caixa contém 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Duas bolas de gude são retiradas aleatoriamente. Se elas tiverem a mesma cor, você ganha ; se elas tiverem cores diferentes, você ganha (isto é, você perde ). Calcule:
(b) a variância da quantia que você ganha
Sabe-se que os disquetes produzidos por certa companhia têm probabilidade de defeito igual a 0,01 , independentemente uns dos outros. A companhia vende os disquetes em embalagens com 10 e oferece uma garantia de devolução se mais que 1 disquete em uma embalagem com 10 disquetes apresentar defeito. Se alguém compra 3 embalagens, qual é a probabilidade de que ele ou ela devolva exatamente 1 delas?
O número esperado de erros tipográficos em uma página de certa revista é igual a 0,2 . Qual é a probabilidade de que a próxima página que você leia contenha (b) 2 ou mais erros tipográficos?