Uma bola é sorteada de uma urna que contém 3 bolas brancas e 3 bolas pretas. Após o seu sorteio, ela é recolocada na urna e então outra bola é sorteada. Esse processo segue indefinidamente. Qual é a probabilidade de que, das primeiras 4 bolas sorteadas, exatamente 2 sejam brancas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 3 bolas brancas e 3 bolas pretas. A gente vai sortear uma bola, colocar de volta na urna, e repetir esse processo várias vezes. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de, nas primeiras 4 bolas sorteadas, exatamente 2 serem brancas. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a probabilidade de tirar uma bola branca em um sorteio. Como tem 3 bolas brancas e 3 pretas, o total é 6 bolas. Então, a probabilidade de tirar uma branca é de
e a de preta também é 0,5.
Passo 3
Como estamos colocando a bola de volta na urna após cada sorteio, cada sorteio é independente. Isso significa que a probabilidade de tirar uma branca ou preta não muda de um sorteio para o outro.
Passo 4
Agora, queremos exatamente 2 bolas brancas em 4 sorteios. Isso é um caso de distribuição binomial, onde calculamos a probabilidade de ter exatamente
sucessos (no nosso caso, bolas brancas) em
tentativas (sorteios), sendo a probabilidade de sucesso em cada tentativa
.
A fórmula da distribuição binomial é:
Passo 5
Vamos identificar os valores:
-
(número de sorteios) -
(número de bolas brancas desejadas) -
(probabilidade de tirar uma branca em cada sorteio)
Passo 6
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial
, que representa o número de maneiras de escolher 2 sorteios que serão brancas entre os 4:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da distribuição binomial:
Resposta
A probabilidade de, nas primeiras 4 bolas sorteadas, exatamente 2 serem brancas é de
ou 37,5%.
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Seja . Determine
(b) em que
.
Seja . Determine
(b)
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