Uma bola é sorteada de uma urna que contém 3 bolas brancas e 3 bolas pretas. Após o seu sorteio, ela é recolocada na urna e então outra bola é sorteada. Esse processo segue indefinidamente. Qual é a probabilidade de que, das primeiras 4 bolas sorteadas, exatamente 2 sejam brancas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 3 bolas brancas e 3 bolas pretas. A gente vai sortear uma bola, colocar de volta na urna, e repetir esse processo várias vezes. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de, nas primeiras 4 bolas sorteadas, exatamente 2 serem brancas. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a probabilidade de tirar uma bola branca em um sorteio. Como tem 3 bolas brancas e 3 pretas, o total é 6 bolas. Então, a probabilidade de tirar uma branca é de 36 = 0,5 e a de preta também é 0,5.

Passo 3

Como estamos colocando a bola de volta na urna após cada sorteio, cada sorteio é independente. Isso significa que a probabilidade de tirar uma branca ou preta não muda de um sorteio para o outro.

Passo 4

Agora, queremos exatamente 2 bolas brancas em 4 sorteios. Isso é um caso de distribuição binomial, onde calculamos a probabilidade de ter exatamente k sucessos (no nosso caso, bolas brancas) em n tentativas (sorteios), sendo a probabilidade de sucesso em cada tentativa p.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k

Passo 5

Vamos identificar os valores:
  • n = 4 (número de sorteios)
  • k = 2 (número de bolas brancas desejadas)
  • p = 0,5 (probabilidade de tirar uma branca em cada sorteio)

Passo 6

Primeiro, calculamos o coeficiente binomial binom42, que representa o número de maneiras de escolher 2 sorteios que serão brancas entre os 4:
binom42 = 4!2!(4-2)! = 242 times 2 = 6

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da distribuição binomial:
P(2) = 6 times (0,5)^2 times (1-0,5)^4-2 = 6 times 0,25 times 0,25 = 6 times 0,0625 = 0,375

Resposta

A probabilidade de, nas primeiras 4 bolas sorteadas, exatamente 2 serem brancas é de 0,375 ou 37,5%.

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