Uma caixa contém 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Duas bolas de gude são retiradas aleatoriamente. Se elas tiverem a mesma cor, você ganha
; se elas tiverem cores diferentes, você ganha
(isto é, você perde
). Calcule:
(b) a variância da quantia que você ganha
(b) a variância da quantia que você ganha
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma caixa com 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis, totalizando 10 bolas. Você vai retirar duas bolas aleatoriamente. Se as duas forem da mesma cor, você ganha R$ 1,10; se forem de cores diferentes, você perde R$ 1,00 (isto é, ganha R$ -1,00). O que precisamos calcular aqui é a variância da quantia que você ganha nessa jogada.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade, valor esperado e variância. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os possíveis resultados e suas probabilidades. Como estamos retirando duas bolas, elas podem ser:
- Ambas vermelhas
- Ambas azuis
- Uma vermelha e uma azul
Vamos calcular as probabilidades de cada uma dessas situações.
Passo 3
A quantidade total de maneiras de retirar duas bolas de um total de 10 é dada pela combinação:
Então, temos 45 possíveis pares de bolas que podemos retirar.
Passo 4
Agora, vamos calcular a quantidade de pares de cada tipo:
- Ambas vermelhas: Temos 5 vermelhas, então:
- Ambas azuis: Também temos 5 azuis:
- Uma vermelha e uma azul: O número de maneiras é:
Passo 5
Com as quantidades, podemos agora determinar as probabilidades:
- Probabilidade de ambas vermelhas:
- Probabilidade de ambas azuis:
- Probabilidade de uma vermelha e uma azul:
Passo 6
Agora, vamos associar cada situação ao valor que você ganha:
- Ambas da mesma cor (VV ou AA): Ganha R$ 1,10
- Cores diferentes (VA): Ganha R$ -1,00
Então, o random variable
pode ser:
Passo 7
Para calcular a variância, precisamos primeiro calcular o valor esperado
e o valor esperado de
, ou seja,
.
Primeiro, o valor esperado:
Passo 8
Agora, calculamos
:
Passo 9
Finalmente, a variância
é dada por:
Resposta
A variância da quantia que você ganha é aproximadamente 1,09 R$².
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Seja
. Determine
(f)Obtenha a função de distribuição acumulada de usando o R. Esboce seu gráfico.
(f)Obtenha a função de distribuição acumulada de
Obtenha as seguintes probabilidades manualmente e pelo R.
Seja . Determine
(b) em que
.
Seja . Determine
(b)
Uma bola é sorteada de uma urna que contém 3 bolas brancas e 3 bolas pretas. Após o seu sorteio, ela é recolocada na urna e então outra bola é sorteada. Esse processo segue indefinidamente. Qual é a probabilidade de que, das primeiras 4 bolas sorteadas, exatamente 2 sejam brancas?