Uma caixa contém 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Duas bolas de gude são retiradas aleatoriamente. Se elas tiverem a mesma cor, você ganha R ; se elas tiverem cores diferentes, você ganha ; se elas tiverem cores diferentes, você ganha (isto é, você perde 1,00 ). Calcule:
(b) a variância da quantia que você ganha

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma caixa com 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis, totalizando 10 bolas. Você vai retirar duas bolas aleatoriamente. Se as duas forem da mesma cor, você ganha R$ 1,10; se forem de cores diferentes, você perde R$ 1,00 (isto é, ganha R$ -1,00). O que precisamos calcular aqui é a variância da quantia que você ganha nessa jogada.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade, valor esperado e variância. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os possíveis resultados e suas probabilidades. Como estamos retirando duas bolas, elas podem ser:
  1. Ambas vermelhas
  2. Ambas azuis
  3. Uma vermelha e uma azul
Vamos calcular as probabilidades de cada uma dessas situações.

Passo 3

A quantidade total de maneiras de retirar duas bolas de um total de 10 é dada pela combinação:
C10,2 = 10!2!(10-2)! = 45
Então, temos 45 possíveis pares de bolas que podemos retirar.

Passo 4

Agora, vamos calcular a quantidade de pares de cada tipo:
  • Ambas vermelhas: Temos 5 vermelhas, então:
C5,2 = 5!2!(5-2)! = 10
  • Ambas azuis: Também temos 5 azuis:
C5,2 = 10
  • Uma vermelha e uma azul: O número de maneiras é:
5 times 5 = 25

Passo 5

Com as quantidades, podemos agora determinar as probabilidades:
  • Probabilidade de ambas vermelhas:
P(VV) = 1045 = 29
  • Probabilidade de ambas azuis:
P(AA) = 1045 = 29
  • Probabilidade de uma vermelha e uma azul:
P(VA) = 2545 = 59

Passo 6

Agora, vamos associar cada situação ao valor que você ganha:
  • Ambas da mesma cor (VV ou AA): Ganha R$ 1,10
  • Cores diferentes (VA): Ganha R$ -1,00
Então, o random variable 1,10 - **Cores diferentes (VA)**: Ganha R pode ser:
X = 1,10 & com probabilidade 49 -1,00 & com probabilidade 59

Passo 7

Para calcular a variância, precisamos primeiro calcular o valor esperado E[X] = (1,10) times 49 + (-1,00) times 59 = 4,40 - 5,009 = -0,609 = -0,0667 e o valor esperado de , ou seja, .
Primeiro, o valor esperado:

Passo 8

Agora, calculamos E[X^2] = (1,10)^2 times 49 + (-1,00)^2 times 59 = 1,21 times 49 + 1,00 times 59 = 4,84 + 5,009 = 9,849 = 1,0933 :

Passo 9

Finalmente, a variância Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 1,0933 - (-0,0667)^2 = 1,0933 - 0,0044 = 1,0889 é dada por:

Resposta

A variância da quantia que você ganha é aproximadamente 1,09 R$².

Exercícios relacionados