Sabe-se que os disquetes produzidos por certa companhia têm probabilidade de defeito igual a 0,01 , independentemente uns dos outros. A companhia vende os disquetes em embalagens com 10 e oferece uma garantia de devolução se mais que 1 disquete em uma embalagem com 10 disquetes apresentar defeito. Se alguém compra 3 embalagens, qual é a probabilidade de que ele ou ela devolva exatamente 1 delas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de probabilidade envolvendo defeitos em disquetes. A matéria que vamos usar aqui é a probabilidade binomial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a chance de ter mais de um defeito em uma embalagem e, depois, a chance de exatamente uma das três embalagens ser devolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma embalagem ser devolvida. A embalagem será devolvida se tiver mais de 1 disquete defeituoso. Então, precisamos descobrir a probabilidade de ter 2 ou mais defeitos em 10 disquetes.

Passo 3

A situação de defeitos nos disquetes segue uma distribuição binomial, onde cada disquete tem 2 opções: defeituoso (com probabilidade 0,01) ou não defeituoso (com probabilidade 0,99). A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Aqui, (disquetes por embalagem), (probabilidade de defeito) e é o número de defeitos.

Passo 4

Queremos P(X > 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] , ou seja, a probabilidade de ter mais de 1 defeito. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ter 0 ou 1 defeito:
Vamos calcular cada parte.

Passo 5

Calculando P(X = 0) = binom100 times (0,01)^0 times (0,99)^10 = 1 times 1 times 0,99^10 approx 0,9044 :

Passo 6

Calculando P(X = 1) = binom101 times (0,01)^1 times (0,99)^9 = 10 times 0,01 times 0,9135 approx 0,09135 :

Passo 7

Agora, somando P(X <= 1) = 0,9044 + 0,09135 = 0,99575 e :

Passo 8

Então, a probabilidade de mais de 1 defeito é:
P(X > 1) = 1 - 0,99575 = 0,00425
Ou seja, cada embalagem tem aproximadamente 0,425% de chance de ser devolvida.

Passo 9

Agora, queremos saber a probabilidade de exatamente 1 das 3 embalagens ser devolvida. Isso também segue uma distribuição binomial, onde (embalagens), e .

Passo 10

Aplicando a fórmula da probabilidade binomial:
P(k = 1) = binom31 times (0,00425)^1 times (1 - 0,00425)^3-1
P(k = 1) = 3 times 0,00425 times 0,99575^2

Passo 11

Calculando os valores:
0,99575^2 approx 0,99155
P(k = 1) = 3 times 0,00425 times 0,99155 approx 0,0127

Resposta

A probabilidade de devolver exatamente 1 das 3 embalagens é aproximadamente 1,27%.

Exercícios relacionados