6 bolas são sorteadas de uma urna que contém 8 bolas vermelhas, 10 bolas verdes e 12 bolas azuis. (b) Dado que nenhuma bola vermelha tenha sido sorteada, qual é a probabilidade de que existam exatamente 2 bolas verdes dentre as 6 escolhidas?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo bolas de diferentes cores em uma urna. Temos uma urna com 8 bolas vermelhas, 10 verdes e 12 azuis, totalizando 30 bolas. Queremos descobrir a probabilidade de, ao escolhermos 6 bolas sem retirar nenhuma vermelha, exatamente 2 delas serem verdes. Para isso, vamos usar conceitos de combinações e probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, como nenhuma bola vermelha foi sorteada, estamos restringindo nosso universo de possibilidades apenas às bolas verdes e azuis. Então, temos 10 bolas verdes e 12 bolas azuis, totalizando 22 bolas.

Passo 3

Queremos calcular a probabilidade de escolher exatamente 2 bolas verdes dentre as 6 escolhidas. Para isso, vamos usar a fórmula da combinação para determinar o número de maneiras de selecionar 2 verdes e 4 azuis.

Passo 4

A fórmula da combinação é dada por:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde é o total de elementos e é o número de elementos a serem escolhidos.

Passo 5

Calculamos o número de maneiras de escolher 2 bolas verdes das 10 disponíveis:
C(10, 2) = 10!2! times 8! = 45

Passo 6

Calculamos o número de maneiras de escolher 4 bolas azuis das 12 disponíveis:
C(12, 4) = 12!4! times 8! = 495

Passo 7

O número total de maneiras de escolher 6 bolas das 22 disponíveis (verde e azul) é:
C(22, 6) = 22!6! times 16! = 74613

Passo 8

Agora, a probabilidade desejada é a razão entre o número de maneiras de escolher exatamente 2 verdes e 4 azuis pelo total de maneiras de escolher 6 bolas:
P = C(10, 2) times C(12, 4)C(22, 6) = 45 times 49574613

Passo 9

Fazendo as contas:
P = 2227574613 approx 0,2985
Convertendo para porcentagem, temos aproximadamente 29,85%.

Resposta

A probabilidade de escolher exatamente 2 bolas verdes dentre as 6 escolhidas, dado que nenhuma bola vermelha foi sorteada, é de aproximadamente 29,85%.

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