6 bolas são sorteadas de uma urna que contém 8 bolas vermelhas, 10 bolas verdes e 12 bolas azuis. (b) Dado que nenhuma bola vermelha tenha sido sorteada, qual é a probabilidade de que existam exatamente 2 bolas verdes dentre as 6 escolhidas?
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo bolas de diferentes cores em uma urna. Temos uma urna com 8 bolas vermelhas, 10 verdes e 12 azuis, totalizando 30 bolas. Queremos descobrir a probabilidade de, ao escolhermos 6 bolas sem retirar nenhuma vermelha, exatamente 2 delas serem verdes. Para isso, vamos usar conceitos de combinações e probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, como nenhuma bola vermelha foi sorteada, estamos restringindo nosso universo de possibilidades apenas às bolas verdes e azuis. Então, temos 10 bolas verdes e 12 bolas azuis, totalizando 22 bolas.
Passo 3
Queremos calcular a probabilidade de escolher exatamente 2 bolas verdes dentre as 6 escolhidas. Para isso, vamos usar a fórmula da combinação para determinar o número de maneiras de selecionar 2 verdes e 4 azuis.
Passo 4
A fórmula da combinação é dada por:
onde
é o total de elementos e
é o número de elementos a serem escolhidos.
Passo 5
Calculamos o número de maneiras de escolher 2 bolas verdes das 10 disponíveis:
Passo 6
Calculamos o número de maneiras de escolher 4 bolas azuis das 12 disponíveis:
Passo 7
O número total de maneiras de escolher 6 bolas das 22 disponíveis (verde e azul) é:
Passo 8
Agora, a probabilidade desejada é a razão entre o número de maneiras de escolher exatamente 2 verdes e 4 azuis pelo total de maneiras de escolher 6 bolas:
Passo 9
Fazendo as contas:
Convertendo para porcentagem, temos aproximadamente 29,85%.
Resposta
A probabilidade de escolher exatamente 2 bolas verdes dentre as 6 escolhidas, dado que nenhuma bola vermelha foi sorteada, é de aproximadamente 29,85%.