Completar a tabela, supondo e independentes.
X -1 1
Y
-1 1/12
0
1 1/4
1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para completar uma tabela de probabilidades envolvendo duas variáveis aleatórias, e , que são independentes. Isso significa que a ocorrência de uma não interfere na outra. Para resolver, vamos precisar entender como as probabilidades marginais e conjuntas funcionam quando as variáveis são independentes. Vamos organizar tudo direitinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na tabela que precisamos completar. Temos algumas probabilidades já preenchidas:
Além disso, sabemos que a soma de todas as probabilidades na tabela deve ser igual a 1, já que estamos considerando todas as possibilidades.

Passo 3

Como e são independentes, a probabilidade conjunta de e é o produto das probabilidades marginais de cada uma. Em outras palavras:
Isso quer dizer que, se conhecemos e , podemos encontrar .

Passo 4

Vamos identificar as variáveis e suas possíveis ocorrências:
  • pode ser -1 ou 1.
  • pode ser -1, 0 ou 1.
Sabemos também que a soma das probabilidades marginais de deve ser 1:
Como , podemos encontrar e .

Passo 5

Vamos calcular e :
Agora, precisamos encontrar esses valores usando as informações da tabela.
Sabemos que:
E também:
Além disso, a soma das probabilidades marginais de deve ser 1:
Vamos chamar e . Então:
E:
Também sabemos que:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Vamos expressar e em termos de e :
Substituindo na equação :
Sabemos que , então podemos expressar . Vamos substituir isso na equação acima:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :
Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Movendo todos os termos para um lado:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Vamos verificar qual faz sentido.
Se :
Então:
Verificando a soma:
Se :
Então:
Verificando a soma:
Ambas as soluções são válidas, mas vamos escolher para facilitar.

Passo 7

Agora que temos e , além de , e , podemos preencher os valores faltantes na tabela usando a independência:
Então:

Passo 8

Vamos agora montar a tabela completa com todas as probabilidades calculadas:
X -1 1
Y
-1
0
1
1

Resposta

A tabela preenchida fica assim:
X -1 1
Y
-1
0
1
1

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