Completar a tabela, supondo
e
independentes.
X | -1 | 1 |
|
---|---|---|---|
Y | |||
-1 | 1/12 | ||
0 |
|
||
1 |
|
1/4 | |
|
1 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para completar uma tabela de probabilidades envolvendo duas variáveis aleatórias,
e
, que são independentes. Isso significa que a ocorrência de uma não interfere na outra. Para resolver, vamos precisar entender como as probabilidades marginais e conjuntas funcionam quando as variáveis são independentes. Vamos organizar tudo direitinho passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na tabela que precisamos completar. Temos algumas probabilidades já preenchidas:
Além disso, sabemos que a soma de todas as probabilidades na tabela deve ser igual a 1, já que estamos considerando todas as possibilidades.
Passo 3
Como
e
são independentes, a probabilidade conjunta de
e
é o produto das probabilidades marginais de cada uma. Em outras palavras:
Isso quer dizer que, se conhecemos
e
, podemos encontrar
.
Passo 4
Vamos identificar as variáveis e suas possíveis ocorrências:
-
pode ser -1 ou 1. -
pode ser -1, 0 ou 1.
Sabemos também que a soma das probabilidades marginais de
deve ser 1:
Como
, podemos encontrar
e
.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Agora, precisamos encontrar esses valores usando as informações da tabela.
Sabemos que:
E também:
Além disso, a soma das probabilidades marginais de
deve ser 1:
Vamos chamar
e
. Então:
E:
Também sabemos que:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 6
Vamos expressar
e
em termos de
e
:
Substituindo na equação
:
Sabemos que
, então podemos expressar
. Vamos substituir isso na equação acima:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Movendo todos os termos para um lado:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Vamos verificar qual faz sentido.
Se
:
Então:
Verificando a soma:
Se
:
Então:
Verificando a soma:
Ambas as soluções são válidas, mas vamos escolher
para facilitar.
Passo 7
Agora que temos
e
, além de
,
e
, podemos preencher os valores faltantes na tabela usando a independência:
Então:
Passo 8
Vamos agora montar a tabela completa com todas as probabilidades calculadas:
X | -1 | 1 |
|
---|---|---|---|
Y | |||
-1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
Resposta
A tabela preenchida fica assim:
X | -1 | 1 |
|
---|---|---|---|
Y | |||
-1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
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