Completar a tabela, supondo X e Y independentes.
X -1 1 P(Y=yi)
Y
-1 1/12
0 1 / 3
1 1 / 4 1/4
P(X=xi) 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para completar uma tabela de probabilidades envolvendo duas variáveis aleatórias, e , que são independentes. Isso significa que a ocorrência de uma não interfere na outra. Para resolver, vamos precisar entender como as probabilidades marginais e conjuntas funcionam quando as variáveis são independentes. Vamos organizar tudo direitinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na tabela que precisamos completar. Temos algumas probabilidades já preenchidas:
Além disso, sabemos que a soma de todas as probabilidades na tabela deve ser igual a 1, já que estamos considerando todas as possibilidades.

Passo 3

Como P(X = xi, Y = yj) = P(X = xi) times P(Y = yj) e são independentes, a probabilidade conjunta de e é o produto das probabilidades marginais de cada uma. Em outras palavras:
Isso quer dizer que, se conhecemos e , podemos encontrar .

Passo 4

Vamos identificar as variáveis e suas possíveis ocorrências:
  • P(Y = -1) + P(Y = 0) + P(Y = 1) = 1 pode ser -1 ou 1.
  • pode ser -1, 0 ou 1.
Sabemos também que a soma das probabilidades marginais de deve ser 1:
Como , podemos encontrar e .

Passo 5

Vamos calcular P(Y = -1) + 13 + P(Y = 1) = 1 e P(Y = -1) + P(Y = 1) = 1 - 13 = 23 :
P(X = -1, Y = -1) = 112 = P(X = -1) times P(Y = -1)
P(X = 1, Y = 1) = 14 = P(X = 1) times P(Y = 1)
Agora, precisamos encontrar esses valores usando as informações da tabela.
Sabemos que:
P(X = -1) + P(X = 1) = 1
E também:
a + b = 1
Além disso, a soma das probabilidades marginais de 112 = a times P(Y = -1) deve ser 1:
14 = b times P(Y = 1)
Vamos chamar P(Y = -1) + P(Y = 1) = 23 e . Então:
E:
Também sabemos que:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Vamos expressar P(Y = -1) = 112a e P(Y = 1) = 14b em termos de 112a + 14b = 23 e 112a + 14(1 - a) = 23 :
(1 - a) + 3a = 8a(1 - a)
1 - a + 3a = 8a - 8a^2
Substituindo na equação 1 + 2a = 8a - 8a^2 :
8a^2 - 6a + 1 = 0
Sabemos que a = 6 pm raiz36 - 3216 = 6 pm raiz416 = 6 pm 216 , então podemos expressar a = 816 = 12 ou a = 416 = 14 . Vamos substituir isso na equação acima:
b = 1 - 12 = 12
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de P(Y = -1) = 112 times 12 = 16 :
Multiplicando todos os termos por P(Y = 1) = 14 times 12 = 12 para eliminar os denominadores:
16 + 12 = 23 (Ok)
Simplificando:
b = 1 - 14 = 34
P(Y = -1) = 112 times 14 = 13
Movendo todos os termos para um lado:
P(Y = 1) = 14 times 34 = 13
Resolvendo essa equação quadrática:
13 + 13 = 23 (Ok)
Então, temos duas soluções:
Vamos verificar qual faz sentido.
Se :
Então:
Verificando a soma:
Se :
Então:
Verificando a soma:
Ambas as soluções são válidas, mas vamos escolher para facilitar.

Passo 7

Agora que temos P(X = xi, Y = yj) = P(X = xi) times P(Y = yj) e , além de , e , podemos preencher os valores faltantes na tabela usando a independência:
Então:

Passo 8

Vamos agora montar a tabela completa com todas as probabilidades calculadas:
X -1 1
Y
-1
0
1
1

Resposta

A tabela preenchida fica assim:
X -1 1
Y
-1
0
1
1

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