Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade dada por:
P[X=x]= c2^x & para x in0,1,2, ldots 0 & c c
Determine:
O valor da constante c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que pode assumir os valores 0, 1, 2, e assim por diante. A distribuição de probabilidade dela é dada por para esses valores de . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor da constante .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que em uma distribuição de probabilidade, a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis precisa ser igual a 1. Ou seja, se a gente somar para todos os , o resultado tem que dar 1.

Passo 3

Então vamos somar todas as probabilidades:
sumx=0^infty P[X = x] = sumx=0^infty c2^x = 1
Aqui, é a soma infinita das probabilidades.

Passo 4

A soma é uma série geométrica. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é , desde que .

Passo 5

No nosso caso, sumx=0^infty 12^x = 11 - 12 = 2 e . Então a soma fica:

Passo 6

Voltando à nossa equação original:
c times sumx=0^infty 12^x = c times 2 = 1

Passo 7

Agora é só resolver para c times 2 = 1 implies c = 12 :

Resposta

O valor da constante é .

Exercícios relacionados