Seja uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade dada por:
Determine:
O valor da constante c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que pode assumir os valores 0, 1, 2, e assim por diante. A distribuição de probabilidade dela é dada por para esses valores de . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor da constante .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que em uma distribuição de probabilidade, a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis precisa ser igual a 1. Ou seja, se a gente somar para todos os , o resultado tem que dar 1.

Passo 3

Então vamos somar todas as probabilidades:
Aqui, é a soma infinita das probabilidades.

Passo 4

A soma é uma série geométrica. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é , desde que .

Passo 5

No nosso caso, e . Então a soma fica:

Passo 6

Voltando à nossa equação original:

Passo 7

Agora é só resolver para :

Resposta

O valor da constante é .

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