Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona uma amostra de 5 peças. O lote será aceito se a amostra contiver, no máximo, 1 peça defeituosa. Há 20 peças defeituosas no lote. (a) Qual é a probabilidade do lote ser aceito?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um lote de 120 peças, das quais 20 são defeituosas. O controle de qualidade vai selecionar uma amostra de 5 peças. O lote será aceito se, nessa amostra, houver no máximo 1 peça defeituosa. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que o lote seja aceito.
Passo 2
Para resolver isso, vamos usar a probabilidade hipergeométrica. Esse tipo de probabilidade é útil quando estamos lidando com amostras retiradas sem reposição de uma população finita. A fórmula geral é:
Onde:
-
é o tamanho total da população (120 peças). -
é o número total de peças defeituosas (20 peças). -
é o tamanho da amostra (5 peças). -
é o número de peças defeituosas na amostra (no nosso caso, 0 ou 1).
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de ter exatamente 0 peças defeituosas na amostra (
):
Calculando os valores:
-
(há apenas 1 jeito de escolher 0 peças defeituosas). -
é o número de maneiras de escolher 5 peças boas. -
é o número total de maneiras de escolher qualquer 5 peças.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de ter exatamente 1 peça defeituosa na amostra (
):
Aqui:
-
(há 20 jeitos de escolher 1 peça defeituosa). -
é o número de maneiras de escolher 4 peças boas. -
permanece o mesmo.
Passo 5
Agora, somamos as duas probabilidades para obter a probabilidade total de o lote ser aceito (ter no máximo 1 defeituosa):
Resposta
A probabilidade do lote ser aceito é aproximadamente 0,658 ou 65,8%.
Exercícios relacionados
Seja
uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade dada por:
Determine:
O valor da constante c
O valor da constante c
6 bolas são sorteadas de uma urna que contém 8 bolas vermelhas, 10 bolas verdes e 12 bolas azuis. (a) Qual é a probabilidade de que pelo menos uma bola vermelha seja sorteada?
6 bolas são sorteadas de uma urna que contém 8 bolas vermelhas, 10 bolas verdes e 12 bolas azuis. (b) Dado que nenhuma bola vermelha tenha sido sorteada, qual é a probabilidade de que existam exatamente 2 bolas verdes dentre as 6 escolhidas?
Completar a tabela, supondo
e
independentes.
X | -1 | 1 |
|
---|---|---|---|
Y | |||
-1 | 1/12 | ||
0 |
|
||
1 |
|
1/4 | |
|
1 |