Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona uma amostra de 5 peças. O lote será aceito se a amostra contiver, no máximo, 1 peça defeituosa. Há 20 peças defeituosas no lote. (a) Qual é a probabilidade do lote ser aceito?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um lote de 120 peças, das quais 20 são defeituosas. O controle de qualidade vai selecionar uma amostra de 5 peças. O lote será aceito se, nessa amostra, houver no máximo 1 peça defeituosa. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que o lote seja aceito.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a probabilidade hipergeométrica. Esse tipo de probabilidade é útil quando estamos lidando com amostras retiradas sem reposição de uma população finita. A fórmula geral é:
P(k) = binomKk binomN-Kn-kbinomNn
Onde:
  • é o tamanho total da população (120 peças).
  • é o número total de peças defeituosas (20 peças).
  • é o tamanho da amostra (5 peças).
  • é o número de peças defeituosas na amostra (no nosso caso, 0 ou 1).

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de ter exatamente 0 peças defeituosas na amostra ( P(0) = binom200 binom1005binom1205 ):
Calculando os valores:
  • (há apenas 1 jeito de escolher 0 peças defeituosas).
  • é o número de maneiras de escolher 5 peças boas.
  • é o número total de maneiras de escolher qualquer 5 peças.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de ter exatamente 1 peça defeituosa na amostra ( P(1) = binom201 binom1004binom1205 ):
Aqui:
  • (há 20 jeitos de escolher 1 peça defeituosa).
  • é o número de maneiras de escolher 4 peças boas.
  • permanece o mesmo.

Passo 5

Agora, somamos as duas probabilidades para obter a probabilidade total de o lote ser aceito (ter no máximo 1 defeituosa):
P(aceitar) = P(0) + P(1) = binom200 binom1005 + binom201 binom1004binom1205

Resposta

A probabilidade do lote ser aceito é aproximadamente 0,658 ou 65,8%.

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