Uma bolha de ar com
de volume está no fundo de um lago com 40 m de.profundidade, em que a temperatura é
. A bolhạ sobe até a superfície, que está à temperatura de
. Considere a temperatura da bolha como a mesma qué a da água em volta. Qual é o volume da bolha no momento em que ela chega à superfície?
Trate o ar nesta temperatura como um gás ideal diatômico que gira mas não oscila. Qual foi a variação de energia interna da bolha? Assumindo que a expansão de volume ocorra linearmente no diagrama
, qual o trabalho realizado pela bolha? Quanto calor a bolha trocou com o lago? A bolha perdeu ou absorveu calor?
Trate o ar nesta temperatura como um gás ideal diatômico que gira mas não oscila. Qual foi a variação de energia interna da bolha? Assumindo que a expansão de volume ocorra linearmente no diagrama
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma bolha de ar no fundo de um lago que sobe até a superfície. Queremos descobrir:
- Qual o volume da bolha quando chega na superfície.
- Qual foi a variação de energia interna da bolha.
- Qual o trabalho realizado pela bolha.
- Quanto calor a bolha trocou com o lago e se ela perdeu ou absorveu calor.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais e conceitos de Termodinâmica, como energia interna, trabalho e calor. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a pressão no fundo do lago onde a bolha está inicialmente. A pressão total nessa profundidade é a soma da pressão atmosférica e da pressão da água.
A pressão atmosférica ($ P_{atm} $) é aproximadamente $ 1 , atm $ ou $ 101.325 , kPa $.
A pressão da água ($ P_{água} $) pode ser calculada usando:
onde:
- $ \rho $ é a densidade da água ($ 1000 , kg/m^3 $),
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $),
- $ h $ é a profundidade ($ 40 , m $).
Vamos calcular:
Então, a pressão total no fundo é:
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais para relacionar o volume inicial e o volume final da bolha. A lei é:
Como a quantidade de gás ($ n
R $) não mudam, podemos usar a relação:
Onde:
- $ P_1 = 493,725 , kPa $,
- $ V_1 = 20 , cm^3 $,
- $ T_1 = 4,0^\circ C = 277 , K $,
- $ P_2 = P_{atm} = 101,325 , kPa $,
- $ T_2 = 20^\circ C = 293 , K $.
Passo 4
Vamos isolar $ V_2 $ na equação:
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Então, o volume da bolha na superfície é aproximadamente 103,24 cm³.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variação da energia interna da bolha. Para um gás ideal, a variação da energia interna depende da variação de temperatura e dos graus de liberdade do gás.
A fórmula é:
Onde:
- $ C_V $ é a capacidade térmica a volume constante.
Como o ar é um gás diatômico que gira mas não oscila, ele tem 5 graus de liberdade. Então,
Usando $ R = 8,314 , J/(mol·K) $:
Mas precisamos saber $ n $, a quantidade de mols. Usando a Lei dos Gases Ideais no estado inicial:
Convertendo $ V_1 $ para metros cúbicos:
Agora, a variação de temperatura:
Então,
A variação de energia interna é de aproximadamente 142,3 J.
Passo 6
Vamos calcular o trabalho realizado pela bolha. Como a expansão ocorre linearmente no diagrama $ p-V $, podemos usar a média das pressões inicial e final para calcular o trabalho:
Primeiro, encontramos $ \Delta V $:
Agora, calculamos a média das pressões:
Então,
O trabalho realizado pela bolha é de aproximadamente 24,77 J.
Passo 7
Vamos calcular quanto calor a bolha trocou com o lago usando a primeira lei da termodinâmica:
Rearranjando:
Substituindo os valores:
Então, a bolha trocou aproximadamente 167,07 J de calor com o lago.
Passo 8
Como o valor de $ Q $ é positivo, isso significa que a bolha absorveu calor do lago durante o processo.
Resposta
- Volume na superfície: aproximadamente $ 103,24 , cm^3 $.
- Variação de energia interna: cerca de $ 142,3 , J $.
- Trabalho realizado pela bolha: aproximadamente $ 24,77 , J $.
- Calor trocado com o lago: cerca de $ 167,07 , J $, sendo que a bolha absorveu calor.