Uma bolha de ar com 20 cm^3 de volume está no fundo de um lago com 40 m de.profundidade, em que a temperatura é 4,0^circ C. A bolhạ sobe até a superfície, que está à temperatura de 20^circ C. Considere a temperatura da bolha como a mesma qué a da água em volta. Qual é o volume da bolha no momento em que ela chega à superfície?
Trate o ar nesta temperatura como um gás ideal diatômico que gira mas não oscila. Qual foi a variação de energia interna da bolha? Assumindo que a expansão de volume ocorra linearmente no diagrama p-V, qual o trabalho realizado pela bolha? Quanto calor a bolha trocou com o lago? A bolha perdeu ou absorveu calor?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma bolha de ar no fundo de um lago que sobe até a superfície. Queremos descobrir:
  1. Qual o volume da bolha quando chega na superfície.
  2. Qual foi a variação de energia interna da bolha.
  3. Qual o trabalho realizado pela bolha.
  4. Quanto calor a bolha trocou com o lago e se ela perdeu ou absorveu calor.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais e conceitos de Termodinâmica, como energia interna, trabalho e calor. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a pressão no fundo do lago onde a bolha está inicialmente. A pressão total nessa profundidade é a soma da pressão atmosférica e da pressão da água.
A pressão atmosférica ($ P_{atm} $) é aproximadamente $ 1 , atm $ ou $ 101.325 , kPa $.
A pressão da água ($ P_{água} $) pode ser calculada usando:
Patm á
onde:
  • $ \rho $ é a densidade da água ($ 1000 , kg/m^3 $),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a profundidade ($ 40 , m $).
Vamos calcular:
1 , atm á
Então, a pressão total no fundo é:
101.325 , kPa á

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais para relacionar o volume inicial e o volume final da bolha. A lei é:
P cdot V = n cdot R cdot T
Como a quantidade de gás ($ n n R $) não mudam, podemos usar a relação:
R
Onde:
  • $ P_1 = 493,725 , kPa $,
  • $ V_1 = 20 , cm^3 $,
  • $ T_1 = 4,0^\circ C = 277 , K $,
  • $ P_2 = P_{atm} = 101,325 , kPa $,
  • $ T_2 = 20^\circ C = 293 , K $.

Passo 4

Vamos isolar $ V_2 $ na equação:
V2
Substituindo os valores:
V2 = V1 cdot P1P2 cdot T2T1
Calculando passo a passo:
V2 = 20 cdot 493,725101,325 cdot 293277
493,725101,325 approx 4,875
293277 approx 1,058
Então, o volume da bolha na superfície é aproximadamente 103,24 cm³.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variação da energia interna da bolha. Para um gás ideal, a variação da energia interna depende da variação de temperatura e dos graus de liberdade do gás.
A fórmula é:
De
Onde:
  • $ C_V $ é a capacidade térmica a volume constante.
Como o ar é um gás diatômico que gira mas não oscila, ele tem 5 graus de liberdade. Então,
CV
Usando $ R = 8,314 , J/(mol·K) $:
CV = f2 cdot R = 52 cdot R
Mas precisamos saber $ n $, a quantidade de mols. Usando a Lei dos Gases Ideais no estado inicial:
R = 8,314 , J/(mol·K)
Convertendo $ V_1 $ para metros cúbicos:
CV = 52 cdot 8,314 = 20,785 , J/(mol·K)
n
Agora, a variação de temperatura:
n = P1 cdot V1R cdot T1
Então,
V1
A variação de energia interna é de aproximadamente 142,3 J.

Passo 6

Vamos calcular o trabalho realizado pela bolha. Como a expansão ocorre linearmente no diagrama $ p-V $, podemos usar a média das pressões inicial e final para calcular o trabalho:
p-V
Primeiro, encontramos $ \Delta V $:
W = P1 + P22 cdot De
Agora, calculamos a média das pressões:
De
Então,
De
O trabalho realizado pela bolha é de aproximadamente 24,77 J.

Passo 7

Vamos calcular quanto calor a bolha trocou com o lago usando a primeira lei da termodinâmica:
De
Rearranjando:
Q = De
Substituindo os valores:
Q = 142,3 + 24,77 approx 167,07 , J
Então, a bolha trocou aproximadamente 167,07 J de calor com o lago.

Passo 8

Como o valor de $ Q $ é positivo, isso significa que a bolha absorveu calor do lago durante o processo.

Resposta

  1. Volume na superfície: aproximadamente $ 103,24 , cm^3 $.
  2. Variação de energia interna: cerca de $ 142,3 , J $.
  3. Trabalho realizado pela bolha: aproximadamente $ 24,77 , J $.
  4. Calor trocado com o lago: cerca de $ 167,07 , J $, sendo que a bolha absorveu calor.

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