Um pequeno balão de ar quente tem um volume de
e é aberto embaixo. O ar dentro do balão está a uma temperatura média de
, enquanto o ar da vizinhança tem uma temperatura de
e uma pressão média de 1,00 atm. O balão está amarrado para que não suba, e a tração no cabo que o mantém é de
. Use
para a massa molar do ar. Despreze a força gravitacional do tecido do balão. Qual a pressão média dentro do balão? Qual a velocidade quadrática média das partículas do ar dentro e fora do balão?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um balão de ar quente com um volume de
aberto na parte de baixo. A temperatura do ar dentro do balão é de
, e a temperatura do ar externo é de
com uma pressão de
. O balão está preso com um cabo que exerce uma tração de
. A massa molar do ar é
. Queremos encontrar duas coisas:
- A pressão média dentro do balão.
- A velocidade quadrática média das partículas do ar dentro e fora do balão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças e a teoria cinética dos gases.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a pressão média dentro do balão. Como o balão está em equilíbrio e não está se movendo, a força resultante sobre ele é zero. Isso significa que a pressão interna, a pressão externa e a tração no cabo estão balanceadas.
A força total exercida pela pressão dentro do balão pode ser calculada pela fórmula:
Onde $ P_{interno} $ é a pressão dentro do balão e $ A $ é a área da superfície do balão.
A pressão externa está agindo para dentro do balão e é igual a
. Além disso, a tração no cabo é de
.
Então, temos:
Podemos simplificar $ A $ dos dois lados:
Passo 3
Para encontrar $ P_{interno} $, precisamos saber a área superficial do balão. Considerando que o balão tem o formato de uma esfera, a área $ A $ é dada por:
Mas não temos o raio $ r $ diretamente. Podemos relacionar o volume $ V $ da esfera com o raio:
Resolvendo para $ r $:
Substituindo $ V = 15,0 , \mathrm{m}^{3} $:
Agora, calculamos a área:
Passo 4
Agora que temos a área, podemos calcular a pressão interna. Primeiro, convertemos a pressão externa de atm para Pascal (já que 1 atm ≈
):
Substituindo na fórmula:
Como a tração é muito pequena comparada à pressão externa, a pressão interna é praticamente igual à pressão externa:
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade quadrática média das partículas do ar dentro e fora do balão. A velocidade quadrática média $ v_{rms} $ pode ser calculada usando a fórmula da teoria cinética dos gases:
Onde:
- $ k $ é a constante de Boltzmann (
), - $ T $ é a temperatura em Kelvin,
- $ m $ é a massa de uma molécula de ar.
Primeiro, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
Passo 6
Vamos encontrar a massa de uma molécula de ar. Sabendo que a massa molar do ar é
, e que 1 mol tem
moléculas (Número de Avogadro), temos:
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula da velocidade quadrática média para o interior e exterior do balão.
Para o interior:
Para o exterior:
Resposta
A pressão média dentro do balão é aproximadamente
. A velocidade quadrática média das partículas do ar dentro do balão é cerca de
e fora do balão é aproximadamente
.