Um pequeno balão de ar quente tem um volume de 15,0 m^3 e é aberto embaixo. O ar dentro do balão está a uma temperatura média de 75^circ C, enquanto o ar da vizinhança tem uma temperatura de 24^circ C e uma pressão média de 1,00 atm. O balão está amarrado para que não suba, e a tração no cabo que o mantém é de 10,0 N. Use 0,0290 kg / mol para a massa molar do ar. Despreze a força gravitacional do tecido do balão. Qual a pressão média dentro do balão? Qual a velocidade quadrática média das partículas do ar dentro e fora do balão?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um balão de ar quente com um volume de 15,0 , m^3 aberto na parte de baixo. A temperatura do ar dentro do balão é de 75^circ C, e a temperatura do ar externo é de 24^circ C com uma pressão de 1,00 , atm. O balão está preso com um cabo que exerce uma tração de 10,0 , N. A massa molar do ar é 0,0290 , kg/mol. Queremos encontrar duas coisas:
  1. A pressão média dentro do balão.
  2. A velocidade quadrática média das partículas do ar dentro e fora do balão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças e a teoria cinética dos gases.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a pressão média dentro do balão. Como o balão está em equilíbrio e não está se movendo, a força resultante sobre ele é zero. Isso significa que a pressão interna, a pressão externa e a tração no cabo estão balanceadas.
A força total exercida pela pressão dentro do balão pode ser calculada pela fórmula:
Fpressão = Pinterno times A ã
Onde $ P_{interno} $ é a pressão dentro do balão e $ A $ é a área da superfície do balão.
A pressão externa está agindo para dentro do balão e é igual a Pinterno . Além disso, a tração no cabo é de A .
Então, temos:
1,00 , atmçã
Podemos simplificar $ A $ dos dois lados:
10,0 , Nçã

Passo 3

Para encontrar $ P_{interno} $, precisamos saber a área superficial do balão. Considerando que o balão tem o formato de uma esfera, a área $ A $ é dada por:
Pinterno
Mas não temos o raio $ r $ diretamente. Podemos relacionar o volume $ V $ da esfera com o raio:
A
Resolvendo para $ r $:
A = 4 pi r^2
Substituindo $ V = 15,0 , \mathrm{m}^{3} $:
r
Agora, calculamos a área:
V

Passo 4

Agora que temos a área, podemos calcular a pressão interna. Primeiro, convertemos a pressão externa de atm para Pascal (já que 1 atm ≈ 1,013 times 10^5 , Pa):
Pexterno = 1,00 , atm = 1,013 times 10^5 , Pa
Substituindo na fórmula:
Pinterno = 1,013 times 10^5 , Pa + 10,0 , N35,5 , m^2 approx 1,013 times 10^5 , Pa + 0,282 , Pa approx 1,013 times 10^5 , Pa
Como a tração é muito pequena comparada à pressão externa, a pressão interna é praticamente igual à pressão externa:
Pinterno approx 1,013 times 10^5 , Pa

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade quadrática média das partículas do ar dentro e fora do balão. A velocidade quadrática média $ v_{rms} $ pode ser calculada usando a fórmula da teoria cinética dos gases:
vrms
Onde:
  • $ k $ é a constante de Boltzmann ( vrms = raiz3kTm ),
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin,
  • $ m $ é a massa de uma molécula de ar.
Primeiro, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
k
1,38 times 10^-23 , J/K

Passo 6

Vamos encontrar a massa de uma molécula de ar. Sabendo que a massa molar do ar é 0,0290 , kg/mol, e que 1 mol tem 6,022 times 10^23 moléculas (Número de Avogadro), temos:
m = 0,0290 , kg/mol6,022 times 10^23 , mol^-1 approx 4,81 times 10^-26 , kg

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula da velocidade quadrática média para o interior e exterior do balão.
Para o interior:
vrms, interno = raiz3 times 1,38 times 10^-23 , J/K times 348,15 , K4,81 times 10^-26 , kg approx raiz1,440 times 10^-204,81 times 10^-26 approx raiz2,995 times 10^5 approx 547 , m/s
Para o exterior:
vrms, externo = raiz3 times 1,38 times 10^-23 , J/K times 297,15 , K4,81 times 10^-26 , kg approx raiz1,231 times 10^-204,81 times 10^-26 approx raiz2,559 times 10^5 approx 506 , m/s

Resposta

A pressão média dentro do balão é aproximadamente 1,013 times 10^5 , Pa. A velocidade quadrática média das partículas do ar dentro do balão é cerca de 547 , m/s e fora do balão é aproximadamente 506 , m/s.

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