Verifique que a função:
Psi(x, t)=l A sin 4 pi xa e^-i E thbar se -a2 <= x <=+a2 0 se x<-a2 ou x>+a2
é uma solução da equação de Schrödinger na região -a2 <= x <=+a2 para uma partícula que se move livremente, mas está confinada nesta região. Determine a energia associada ao estado cuja a função de onda é Psi(x, t) acima. Encontre a constante de normalização A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de onda Psi(x, t) que descreve uma partícula quântica. O exercício pede para a gente verificar se essa função satisfaz a equação de Schrödinger na região onde a partícula está confinada, ou seja, entre -a2 e +a2. Além disso, precisamos determinar a energia associada a esse estado e encontrar a constante de normalização A. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica como as soluções da equação de Schrödinger para partículas livres confinadas e a normalização de funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre:
-hbar^22m d^2 Psi(x)dx^2 = E Psi(x)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, E é a energia, e Psi(x) é a função de onda da partícula.

Passo 3

Nossa função de onda Psi(x, t) é dada por:
Psi(x, t) = A sin( 4pi xa ) e^-i E thbar & se -a2 <= x <= +a2 0 & caso contrário á
Note que a parte temporal está na exponencial, e a parte espacial está na função seno. Vamos focar na parte espacial para verificar se ela satisfaz a equação de Schrödinger.

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada de Psi(x) em relação a x:
d^2dx^2 [ sin( 4pi xa ) ] = -( 4pia )^2 sin( 4pi xa )
Portanto,
d^2 Psi(x)dx^2 = -A ( 4pia )^2 sin( 4pi xa ) e^-i E thbar

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na equação de Schrödinger:
-hbar^22m [ -A ( 4pia )^2 sin( 4pi xa ) e^-i E thbar ] = E A sin( 4pi xa ) e^-i E thbar
Simplificando:
hbar^22m ( 16pi^2a^2 ) A sin( 4pi xa ) e^-i E thbar = E A sin( 4pi xa ) e^-i E thbar

Passo 6

Podemos cancelar os termos comuns em ambos os lados da equação:
hbar^22m ( 16pi^2a^2 ) = E
Então, isolando E:
E = 16pi^2 hbar^22m a^2 = 8pi^2 hbar^2m a^2

Passo 7

Agora, vamos determinar a constante de normalização A. Para isso, usamos a condição de normalização:
integral-a2^+a2 |Psi(x, t)|^2 dx = 1
Substituindo Psi(x, t):
|A|^2 integral-a2^+a2 sin^2( 4pi xa ) dx = 1

Passo 8

Calculando a integral:
integral sin^2(kx) dx = x2 - sin(2kx)4k + C
onde k = 4pia. Avaliando de -a2 a +a2:
integral-a2^+a2 sin^2( 4pi xa ) dx = a2

Passo 9

Substituindo na condição de normalização:
|A|^2 cdot a2 = 1 implies |A|^2 = 2a implies A = raiz2a

Resposta

A energia associada ao estado é E = dfrac8pi^2 hbar^2m a^2 e a constante de normalização é A = raizdfrac2a.

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