Uma bolinha de massa m=1 kg e velocidade 13 m / s colide com outra bolinha de mesma massa (inicialmente em repouso) como mostra a figura (acima à direita). Considere que o choque é elástico (energia mecânica se conserva) e que sen (alpha)=12 / 13.
c) Encontre o sistema de equações para as velocidades e para theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bolinha de 1 kg se movendo a 13 m/s que colide com outra bolinha de mesma massa que está parada. A colisão é elástica, ou seja, a energia mecânica se mantém. Além disso, sabemos que . Nosso objetivo aqui é montar um sistema de equações para encontrar as velocidades após a colisão e o ângulo . Para isso, vamos usar as leis de conservação de momentum e de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da conservação do momentum linear. Como a colisão acontece em duas dimensões, a gente precisa considerar tanto a direção horizontal (x) quanto a vertical (y).
  • Na direção x:
    A única bolinha em movimento inicialmente é a primeira, então o momentum inicial na direção x é , onde .
  • Na direção y:
    Inicialmente, não tem nenhum movimento na direção y, então o momentum inicial é zero.
Depois da colisão, as duas bolinhas vão ter velocidades diferentes e e vão seguir em direções diferentes, formando um ângulo .

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações de conservação do momentum para cada direção.
  • Direção x:
    m cdot v0 = m cdot v1 cdot cos(theta)
    Simplificando v0 = v1 cdot cos(theta) dos dois lados:
    0 = m cdot v1 cdot sin(theta) + m cdot v2
  • Direção y:
    Como o momentum inicial na direção y é zero, a soma dos momentums na direção y após a colisão também deve ser zero:
    0 = v1 cdot sin(theta) + v2
    Simplificando v2 = -v1 cdot sin(theta) :
    Ou seja:

Passo 4

Além disso, como a colisão é elástica, a energia cinética total é conservada. Isso nos dá outra equação:
12 m v0^2 = 12 m v1^2 + 12 m v2^2
Novamente, simplificando v0^2 = v1^2 + v2^2 dos dois lados:

Passo 5

Agora, podemos substituir v0^2 = v1^2 + (-v1 cdot sin(theta))^2 da equação da direção y na equação da energia cinética:
v0^2 = v1^2 + v1^2 cdot sin^2(theta)
Simplificando:
v0^2 = v1^2 (1 + sin^2(theta))

Resposta

O sistema de equações para as velocidades v0 = v1 cdot cos(theta) v2 = -v1 cdot sin(theta) v0^2 = v1^2 + v2^2 , e o ângulo é:

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