Uma bolinha de massa m=1 kg e velocidade 13 m / s colide com outra bolinha de mesma massa (inicialmente em repouso) como mostra a figura (acima à direita). Considere que o choque é elástico (energia mecânica se conserva) e que sen (alpha)=12 / 13.
d) Encontre as velocidades finais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas bolinhas de mesma massa, cada uma com 1 kg. A primeira bolinha está se movendo a 13 m/s e a segunda está parada. Quando elas colidem, o choque é elástico, ou seja, a energia mecânica é conservada. Além disso, foi dado que o seno do ângulo α é 12/13. Para resolver isso, vamos precisar usar conservação de momentum e conservação de energia. Isso vai nos ajudar a encontrar as velocidades finais das duas bolinhas após a colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão elástica, tanto o momentum quanto a energia cinética são preservados. O momentum é a quantidade de movimento e depende da massa e da velocidade. A energia cinética depende da massa e do quadrado da velocidade.

Passo 3

Como as massas são iguais (m1 = m2 = 1 kg), isso simplifica um pouco as contas. Vamos chamar as velocidades finais das bolinhas de:
  • v₁f para a primeira bolinha
  • v₂f para a segunda bolinha

Passo 4

Vamos começar pela conservação do momentum. Como estamos lidando com movimentos em duas dimensões, precisamos considerar tanto a direção horizontal (x) quanto a vertical (y).
Momentum inicial:
  • Na direção x: m1 * v1i = 1 * 13 = 13 kg·m/s
  • Na direção y: m1 * v1i * sin(α) = 1 * 13 * (12/13) = 12 kg·m/s
Momentum final:
  • Na direção x: m1 * v₁f * cos(alpha) + m2 * v₂f * cos(theta) = v₁f * cos(alpha) + v₂f * cos(theta)
  • Na direção y: m1 * v₁f * sin(alpha) = v₁f * sin(alpha)
Mas como o segundo objeto estava inicialmente em repouso, o momentum na direção y após a colisão deve ser zero, então:
v₁f * sin(alpha) = v₂f * sin(theta)

Passo 5

Agora, vamos usar a conservação da energia cinética. A energia cinética inicial é apenas da primeira bolinha:
KEinicial = 12 m1 * v1i^2 = 12 * 1 * 13^2 = 84.5 , J
A energia cinética final é a soma das energias das duas bolinhas:
KEfinal = 12 m1 * v₁f^2 + 12 m2 * v₂f^2 = 12 v₁f^2 + 12 v₂f^2
Como a energia é conservada:
12 v₁f^2 + 12 v₂f^2 = 84.5
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
v₁f^2 + v₂f^2 = 169

Passo 6

Vamos agora relacionar as equações do momentum. Da direção y, temos:
v₁f * sin(alpha) = v₂f * sin(theta)
Sabendo que , podemos expressar em termos de e .
Mas para simplificar, geralmente em colisões elásticas com massas iguais, as velocidades finais são trocadas ou perpendicularmente direcionadas. Usando essa propriedade, temos que as velocidades finais formam um ângulo reto.

Passo 7

Utilizando o teorema de Pitágoras, já que as velocidades finais são perpendiculares:
v₁f^2 + v₂f^2 = 13^2 = 169
Como originalmente a energia cinética é 169, confirmamos que está consistente.

Passo 8

Para encontrar os valores numéricos, usamos que as velocidades finais são iguais à velocidade inicial pela conservação de energia e momentum. Assim:
v₁f = 5 , m/s e v₂f = 12 , m/s

Resposta

As velocidades finais são v₁f = 5 m/s e v₂f = 12 m/s.

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