Uma bomba de calor que opera segundo um ciclo de Carnot é utilizada para o aquecimento da água de uma piscina que deve ter a sua temperatura mantida a quando a temperatura ambiente é igual a . Nessa condição, necessita-se fornecer à água da piscina a potência térmica de . O trabalho requerido por essa bomba de calor é fornecido por uma motor térmico que opera com rendimento igual a . Determine as taxas de transferência de energia por calor entre a bomba de calor e o seu reservatório frio e entre o motor e seu reservatório quente. Resp. ;

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma bomba de calor que funciona com um ciclo de Carnot para aquecer a água de uma piscina. A temperatura da água precisa ser mantida em enquanto a temperatura ambiente é de . A bomba de calor fornece uma potência térmica de . Além disso, o trabalho necessário para a bomba de calor é fornecido por um motor térmico com eficiência de . Precisamos encontrar as taxas de transferência de energia por calor entre a bomba de calor e seu reservatório frio, e entre o motor e seu reservatório quente.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de termodinâmica, como o ciclo de Carnot, eficiência térmica e a relação entre trabalho e calor nos sistemas térmicos.

Passo 2

Vamos começar entendendo o ciclo de Carnot. Uma bomba de calor que opera em um ciclo de Carnot tem uma eficiência que depende das temperaturas dos reservatórios quente ( ) e frio ( ).
A eficiência ( ) de uma bomba de calor de Carnot é dada por:
onde as temperaturas devem estar na escala Kelvin.
Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:

Passo 3

Agora, calculamos a eficiência da bomba de calor:
Isso significa que para cada unidade de trabalho fornecido, a bomba de calor transfere aproximadamente unidades de calor para a água da piscina.

Passo 4

Sabemos que a potência térmica fornecida à água da piscina é . A relação entre a potência térmica e o trabalho ( ) na bomba de calor é dada por:
Isolando o trabalho:

Passo 5

No entanto, o trabalho para a bomba de calor é fornecido por um motor térmico com eficiência . A eficiência do motor é definida como:
Isolando :

Passo 6

Agora, precisamos determinar as taxas de transferência de calor. Para a bomba de calor, já temos . Podemos encontrar , a taxa de calor do reservatório frio, usando:
Isolando :

Passo 7

Para o motor térmico, a taxa de transferência de calor do reservatório quente ( ) é igual a :

Resposta

As taxas de transferência de energia por calor são aproximadamente entre a bomba de calor e o reservatório frio, e entre o motor e seu reservatório quente.

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