Um bote salva vidas com capacidade máxima para 1.500 quilos está transportando turistas cujos pesos, em kg, seguem uma distribuição normal com média igual a 78 kg e desvio padrão de 9 Kg .
Calcule a probabilidade de que numa amostra com 16 turistas, a média amostral dos pesos seja:
menor que 76 kg .
Calcule a probabilidade de que numa amostra com 16 turistas, a média amostral dos pesos seja:
menor que 76 kg .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bote salva-vidas que pode carregar até 1.500 kg e está levando turistas. Cada turista pesa em média 78 kg, com um desvio padrão de 9 kg. A gente precisa calcular a probabilidade de que, numa amostra de 16 turistas, a média dos pesos seja menor que 76 kg. Vamos usar estatística, mais especificamente a distribuição normal e o conceito de média amostral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição da média amostral. Quando temos uma amostra de tamanho $ n $ de uma população normalmente distribuída, a média amostral também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição é igual à média da população ($ \mu
\sigma
n $). Então, a média amostral $ \bar{X} $ tem distribuição:
Passo 3
Vamos calcular o desvio padrão da média amostral. Sabemos que $ \sigma = 9 $ kg e $ n = 16 $. Então:
Passo 4
Agora, queremos achar a probabilidade de $ \bar{X} < 76 $ kg. Para isso, vamos padronizar esse valor usando o valor Z, que é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com o valor de Z calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente na tabela da distribuição normal padrão. Um Z de -0,89 nos diz quantos desvios padrão a média amostral está abaixo da média da população.
Consultando a tabela, a probabilidade de Z ser menor que -0,89 é aproximadamente 0,1867.
Resposta
A probabilidade de que, numa amostra de 16 turistas, a média dos pesos seja menor que 76 kg é de aproximadamente 18,67%.