Um bote salva vidas com capacidade máxima para 1.500 quilos está transportando turistas cujos pesos, em kg, seguem uma distribuição normal com média igual a 78 kg e desvio padrão de 9 Kg .
Calcule a probabilidade de que numa amostra com 16 turistas, a média amostral dos pesos seja:
menor que 80 kg .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem um bote salva-vidas que pode levar até 1.500 kg e está transportando turistas. Os pesos dos turistas seguem uma distribuição normal com média de 78 kg e desvio padrão de 9 kg. A gente precisa descobrir qual a chance de, numa amostra de 16 turistas, a média dos pesos ser menor que 80 kg. Vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição normal e média amostral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma distribuição normal com média (µ) de 78 kg e desvio padrão (σ) de 9 kg. A distribuição normal é aquela famosa “curva em forma de sino”, onde a maioria dos valores estão perto da média e os valores extremos são menos prováveis.

Passo 3

Como estamos lidando com a média de uma amostra de 16 turistas, precisamos calcular o desvio padrão da média amostral, também conhecido como erro padrão. A fórmula é:
sigmabarx = sigmaraizn
Onde:
  • σ = 9 kg
  • n = 16
Então:
sigmabarx = 9raiz16 = 94 = 2,25 , kg

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de a média amostral ser menor que 80 kg. Para isso, vamos transformar essa média em um valor z, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão. A fórmula do z é:
z = barx - musigmabarx
Onde:
  • barx = 80 kg
  • µ = 78 kg
  • sigmabarx = 2,25 kg
Então:
z = 80 - 782,25 = 22,25 approx 0,89

Passo 5

Com o valor z calculado, podemos usar uma tabela de distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a z = 0,89. Essa probabilidade nos diz a chance de a média amostral ser menor que 80 kg.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(Z < 0,89) approx 0,8133

Resposta

A probabilidade de que, numa amostra com 16 turistas, a média amostral dos pesos seja menor que 80 kg é de aproximadamente 81,33%.

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