Suponha que o peso em gramas do conteúdo de pacotes de salgadinho siga uma distribuição normal com média 500 g e desvio padrão 85 g . Sorteia-se uma amostra de 50 pacotes.
Calcule a probabilidade de obter peso médio:
acima de 510 gramas.
Calcule a probabilidade de obter peso médio:
acima de 510 gramas.
Passo 1
Então, a gente tem um problema sobre o peso de pacotes de salgadinho que segue uma distribuição normal. A média do peso é de 500 gramas e o desvio padrão é de 85 gramas. A ideia é pegar uma amostra de 50 pacotes e calcular a probabilidade do peso médio dessa amostra ser maior que 510 gramas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de distribuição normal, média, desvio padrão e distribuição da média amostral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição da média amostral. Quando a gente tem uma amostra de tamanho $ n $ de uma população que segue uma distribuição normal, a média dessa amostra também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição é igual à média da população ($ \mu
\sigma
\sqrt{n} $).
Então, a média amostral $ \overline{X} $ tem:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ \overline{X} > 510 $ gramas. Para isso, vamos calcular o valor de Z, que nos diz quantos desvios padrão a média amostral está acima da média da população. A fórmula do Z é:
Passo 4
Com o valor de Z calculado, podemos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela nos dá $ P(Z < 0,83) $, que é a probabilidade da média amostral ser menor que 510 gramas. Mas a gente quer a probabilidade de ser maior, então fazemos:
Consultando a tabela, $ P(Z < 0,83) \approx 0,7967 $, então:
Resposta
A probabilidade de obter um peso médio acima de 510 gramas é de aproximadamente 20,33%.