Um bote salva vidas com capacidade máxima para 1.500 quilos está transportando turistas cujos pesos, em kg, seguem uma distribuição normal com média igual a 78 kg e desvio padrão de 9 Kg .
Calcule a probabilidade de que numa amostra com 16 turistas, a média amostral dos pesos seja:
entre 79 kg e 86 kg .
Calcule a probabilidade de que numa amostra com 16 turistas, a média amostral dos pesos seja:
entre 79 kg e 86 kg .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre a distribuição da média amostral. Precisamos calcular a probabilidade de que, em uma amostra de 16 turistas, a média dos pesos esteja entre 79 kg e 86 kg. Para isso, vamos utilizar conceitos de distribuição normal e propriedades da média amostral.
Passo 2
Primeiro, identificamos os dados do problema:
- Média dos pesos da população (
): 78 kg - Desvio padrão dos pesos (
): 9 kg - Tamanho da amostra (
): 16 turistas
Passo 3
Sabemos que a média amostral (
) também segue uma distribuição normal, com média igual à média da população (
) e desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra (
).
Vamos calcular o desvio padrão da média amostral:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral esteja entre 79 kg e 86 kg. Isso é representado por:
Passo 5
Para calcular essa probabilidade, vamos padronizar os valores usando a pontuação Z, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão. A fórmula para calcular Z é:
Primeiro, calculamos os valores de Z para 79 kg e 86 kg.
Para
kg:
Para
kg:
Passo 6
Agora, queremos encontrar:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos as probabilidades correspondentes a esses valores de Z.
Assumindo que:
Passo 7
Calculamos a probabilidade desejada subtraindo as duas probabilidades encontradas:
Resposta
A probabilidade de que, em uma amostra de 16 turistas, a média dos pesos esteja entre 79 kg e 86 kg é aproximadamente 32,88%.