Um bote salva vidas com capacidade máxima para 1.500 quilos está transportando turistas cujos pesos, em kg, seguem uma distribuição normal com média igual a 78 kg e desvio padrão de 9 Kg .
Calcule a probabilidade de que numa amostra com 16 turistas, a média amostral dos pesos seja:
entre 79 kg e 86 kg .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre a distribuição da média amostral. Precisamos calcular a probabilidade de que, em uma amostra de 16 turistas, a média dos pesos esteja entre 79 kg e 86 kg. Para isso, vamos utilizar conceitos de distribuição normal e propriedades da média amostral.

Passo 2

Primeiro, identificamos os dados do problema:
  • Média dos pesos da população ( mu): 78 kg
  • Desvio padrão dos pesos ( sigma): 9 kg
  • Tamanho da amostra ( n): 16 turistas

Passo 3

Sabemos que a média amostral ( barX) também segue uma distribuição normal, com média igual à média da população ( mu) e desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra ( sigmabarX = sigma / raizn).
Vamos calcular o desvio padrão da média amostral:
sigmabarX = 9raiz16 = 94 = 2,25 , kg

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral esteja entre 79 kg e 86 kg. Isso é representado por:
P(79 <= barX <= 86)

Passo 5

Para calcular essa probabilidade, vamos padronizar os valores usando a pontuação Z, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão. A fórmula para calcular Z é:
Z = barX - musigmabarX
Primeiro, calculamos os valores de Z para 79 kg e 86 kg.
Para barX = 79 kg:
Z1 = 79 - 782,25 = 12,25 approx 0,444
Para barX = 86 kg:
Z2 = 86 - 782,25 = 82,25 approx 3,556

Passo 6

Agora, queremos encontrar:
P(0,444 <= Z <= 3,556)
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos as probabilidades correspondentes a esses valores de Z.
Assumindo que:
Phi(3,556) approx 0,9998
Phi(0,444) approx 0,671

Passo 7

Calculamos a probabilidade desejada subtraindo as duas probabilidades encontradas:
P(0,444 <= Z <= 3,556) = Phi(3,556) - Phi(0,444) approx 0,9998 - 0,671 = 0,3288

Resposta

A probabilidade de que, em uma amostra de 16 turistas, a média dos pesos esteja entre 79 kg e 86 kg é aproximadamente 32,88%.

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