O preço de venda de um determinado produto segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão de R$1,00.
Encontre a probabilidade de que, numa amostra aleatória de 9 lojas espalhadas pela cidade e sorteadas aleatoriamente, o preço de venda médio desse produto seja:
maior do que
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Encontre a probabilidade de que, numa amostra aleatória de 9 lojas espalhadas pela cidade e sorteadas aleatoriamente, o preço de venda médio desse produto seja:
maior do que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o preço de venda de um produto segue uma distribuição normal com média de R$ 5,70 e desvio padrão de R$ 1,00. A gente quer saber a probabilidade de que, em uma amostra de 9 lojas escolhidas aleatoriamente, o preço médio desse produto seja maior que R$ 6,00. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Distribuição da Média Amostral.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição da média amostral. Quando a gente tira uma amostra de tamanho $ n $ de uma distribuição normal, a média dessa amostra também segue uma distribuição normal. A média da média amostral é igual à média da população, que aqui é $ \mu = 5,70 $. O desvio padrão da média amostral, chamado de erro padrão, é calculado por:
Onde $ \sigma = 1,00 $ e $ n = 9 $.
Passo 3
Vamos calcular o erro padrão:
Então, a distribuição da média amostral é $ \mathcal{N}(5,70, 0,3333) $.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média seja maior que R$ 6,00. Em termos de notação, isso é $ P(\overline{X} > 6,00) $.
Para achar isso, vamos calcular o score z, que nos diz quantos desvios padrão o valor está acima da média. A fórmula do z é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com o valor de $ z \approx 0,90 $, precisamos encontrar a probabilidade correspondente. Isso geralmente é feito consultando uma tabela de distribuição normal padrão ou usando uma calculadora.
A tabela nos dá $ P(Z < 0,90) $, que é a probabilidade da média ser menor que R$ 6,00. Mas queremos o contrário, então:
Consultando a tabela, $ P(Z < 0,90) \approx 0,8159 $. Assim:
Resposta
A probabilidade de que, numa amostra de 9 lojas, o preço médio de venda seja maior que R$ 6,00 é de aproximadamente 18,41%.