Um bote com velocidade inicial
é lançado em um lago. O bote sofre uma força de arrasto da água dada por
, a e b constantes. Ache a)
e b)calcule o tempo até parar.
Resp: a)v
.
Resp: a)v
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bote que é lançado com uma velocidade inicial
em um lago. Ele sofre uma força de arrasto da água, que é uma força que tenta parar o bote, e essa força é dada por
, onde
e
são constantes. Nosso objetivo é encontrar:
a) A função da velocidade
do bote em função do tempo.
b) O tempo que o bote leva para parar completamente.
b) O tempo que o bote leva para parar completamente.
Vamos precisar usar conceitos de Dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, e resolver uma Equação Diferencial para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa desse objeto multiplicada pela sua aceleração:
Aqui, a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Passo 3
No nosso caso, a única força agindo no bote é a força de arrasto da água:
Então, aplicando a segunda lei de Newton:
Passo 4
Vamos reescrever essa equação para isolar
:
Isso é uma equação diferencial que relaciona
e
.
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis
e
. Ou seja, queremos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A gente integra a esquerda em relação a
e a direita em relação a
:
A integração da esquerda resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos absorver a constante
em outro termo, mas para simplificar, consideramos que no tempo
, a velocidade é
. Então:
Isso nos dá:
Passo 8
Agora, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para
:
Finalmente, isolando
:
Passo 9
Para encontrar o tempo até o bote parar, ou seja,
, vamos igualar a expressão de
a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso implica:
Resolvendo para
:
Resposta
a) A velocidade em função do tempo é:
b) O tempo para o bote parar completamente é:
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Uma partícula de massa
tem velocidade dada por
, onde
é sua posição
. Calcule a força sobre ela. Resp:
A velocidade de uma partícula de massa
varia com a distância
da forma
condições iniciais
quando
. a) Ache a força
. b) Ache
. Resp: a)
b)