Um bote com velocidade inicial v0 é lançado em um lago. O bote sofre uma força de arrasto da água dada por f=-ae^bv, a e b constantes. Ache a) v(t) e b)calcule o tempo até parar.
Resp: a)v =-(1 / b) ln [a b t / n+e^-b / v 0], b) t=(m / a b)[1-e^-b / v 0].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bote que é lançado com uma velocidade inicial em um lago. Ele sofre uma força de arrasto da água, que é uma força que tenta parar o bote, e essa força é dada por , onde e são constantes. Nosso objetivo é encontrar:
a) A função da velocidade do bote em função do tempo.
b) O tempo que o bote leva para parar completamente.
Vamos precisar usar conceitos de Dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, e resolver uma Equação Diferencial para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa desse objeto multiplicada pela sua aceleração:
F = m cdot a
Aqui, a aceleração a = dvdt é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 3

No nosso caso, a única força agindo no bote é a força de arrasto da água:
F = -a e^b v
Então, aplicando a segunda lei de Newton:
-a e^b v = m cdot dvdt

Passo 4

Vamos reescrever essa equação para isolar dvdt = -am e^b v :
Isso é uma equação diferencial que relaciona e .

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis dve^b v = -am dt e . Ou seja, queremos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A gente integra a esquerda em relação a integral dve^b v = -am integral dt e a direita em relação a -1b e^-b v = -am t + C :
A integração da esquerda resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para e^-b v = a bm t - b C . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por e^-b v0 = -b C :
e^-b v = a bm t + e^-b v0
Podemos absorver a constante em outro termo, mas para simplificar, consideramos que no tempo , a velocidade é . Então:
Isso nos dá:

Passo 8

Agora, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para -b v = ln ( a bm t + e^-b v0 ) :
v(t) = -1b ln ( a bm t + e^-b v0 )
Finalmente, isolando :

Passo 9

Para encontrar o tempo até o bote parar, ou seja, 0 = -1b ln ( a bm t + e^-b v0 ) , vamos igualar a expressão de 0 = ln ( a bm t + e^-b v0 ) a zero:
1 = a bm t + e^-b v0
Multiplicando ambos os lados por a bm t = 1 - e^-b v0 :
t = ma b ( 1 - e^-b v0 )
Isso implica:
Resolvendo para :

Resposta

a) A velocidade em função do tempo é:
v(t) = -1b ln ( a bm t + e^-b v0 )
b) O tempo para o bote parar completamente é:
t = ma b ( 1 - e^-b v0 )

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