Um bote com velocidade inicial é lançado em um lago. O bote sofre uma força de arrasto da água dada por , a e b constantes. Ache a) e b)calcule o tempo até parar.
Resp: a)v .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bote que é lançado com uma velocidade inicial em um lago. Ele sofre uma força de arrasto da água, que é uma força que tenta parar o bote, e essa força é dada por , onde e são constantes. Nosso objetivo é encontrar:
a) A função da velocidade do bote em função do tempo.
b) O tempo que o bote leva para parar completamente.
Vamos precisar usar conceitos de Dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, e resolver uma Equação Diferencial para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa desse objeto multiplicada pela sua aceleração:
Aqui, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 3

No nosso caso, a única força agindo no bote é a força de arrasto da água:
Então, aplicando a segunda lei de Newton:

Passo 4

Vamos reescrever essa equação para isolar :
Isso é uma equação diferencial que relaciona e .

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis e . Ou seja, queremos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A gente integra a esquerda em relação a e a direita em relação a :
A integração da esquerda resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Podemos absorver a constante em outro termo, mas para simplificar, consideramos que no tempo , a velocidade é . Então:
Isso nos dá:

Passo 8

Agora, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para :
Finalmente, isolando :

Passo 9

Para encontrar o tempo até o bote parar, ou seja, , vamos igualar a expressão de a zero:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso implica:
Resolvendo para :

Resposta

a) A velocidade em função do tempo é:
b) O tempo para o bote parar completamente é:

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